Solución:
Tu prueba es muy buena y está bien expresada. Creo que se puede hacer más corto y más ajustado con un poco menos de exposición de lo obvio. Sin embargo, preferiría que los estudiantes se inclinen por más en lugar de menos, así que no puedo reprenderte por ser minucioso. Pero si quieres una crítica:
“Suponga un número arbitrario n, donde n no es negativo. Si $ sqrt {n} $ es un número entero, entonces $ sqrt {n} $ debe ser racional. Dado que $ sqrt {n} $ es un número entero, podemos concluir que n es un número cuadrado, es decir, para algún número entero a. Por lo tanto, si n es un número cuadrado, entonces $ sqrt {n} $ es racional “.
Supongamos ahora que n no es un número cuadrado, queremos mostrar que la raíz cuadrada de cualquier número no cuadrado es irracional.
Todo esto se puede decir de manera más simple y argumentar que si $ sqrt {n} $ es un número entero, podemos concluir que $ sqrt {n} $ es racional o que $ n $ es, por lo tanto, un cuadrado perfecto, es un poco torpe . Esas son definiciones y no hace falta decirlo. Sin embargo, muestra una buena perspicacia y comprensión ser consciente de que uno puede asumir cosas y todas las afirmaciones necesitan justificación, por lo que realmente no puedo llamar a esto “incorrecto”.
Pero bastaría con decirlo. “Si $ n $ es un cuadrado perfecto, entonces $ sqrt {n} $ es un número entero y, por lo tanto, es racional, por lo que basta con demostrar que si $ n $ no es un cuadrado perfecto, entonces $ sqrt {n} $ es irracional.
Demostramos por contradicción. Es decir, suponemos que la raíz cuadrada de cualquier número no cuadrado es racional. Entonces $ sqrt {n} $ = ab, donde a, b∈Z +, b ≠ 0. También suponemos que a ≠ 0, de lo contrario ab = 0, y n será un número cuadrado, que es racional.
Terminológicamente, decir “$ n $ es un número cuadrado” significa que $ n $ es el cuadrado de un número entero. Si $ n = ( frac ab) ^ 2 $ no solemos referirnos a $ n $ como un cuadrado (aunque es “un cuadrado de un racional”) Nunca llamaríamos $ 13 $ un cuadrado porque $ 13 = ( sqrt {13}) ^ 2 $.
Además, no realiza la especificación habitual de que $ a $ y $ b $ no tienen factores comunes. Resulta que no era necesario, pero es un estándar.
Suponga que b = 1. Entonces $ sqrt {n} $ = a, lo que muestra que n es un número cuadrado. Entonces b ≠ 1. Desde $ sqrt {n} $> 1, entonces a> b> 1
Esto era redundante ya que $ b = 1 implica que $ $ a / b $ es un número entero y asumimos que $ n $ no es un cuadrado perfecto.
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Mediante el teorema de factorización única de enteros, todo entero positivo mayor que 1 puede expresarse como el producto de sus números primos. Por lo tanto, podemos escribir a como un producto de primos y por cada número primo que exista en a, habrá un número par de primos en a2. De manera similar, podemos expresar b como un producto de primos y para cada número primo que existe en b, habrá un número par de primos en b2.
Bill Dubuque en los comentarios señaló que lo que querías decir era “cada factor primo se elevará a cualquier poder uniforme”.
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Sin embargo, también podemos expresar n como un producto de números primos. Dado que n no es un número cuadrado, existe al menos un número primo que tiene un número impar de primos. Por lo tanto, existe al menos un primo en el producto de nb2 que tiene un número impar de primos. Dado que nb2 = a2, esto contradice el hecho de que hay un número par de primos en a2, ya que un número no puede ser par ni impar.
Ídem:
En general, creo que su prueba es muy buena.
Pero debo señalar que hay uno más simple:
Suponga que $ n = frac {a ^ 2} {b ^ 2} $ donde $ a, b $ son números enteros positivos sin factores comunes (distintos de 1). Si $ p $ es un factor primo de $ b $ y $ n $ es un número entero, se deduce que $ p $ es un factor primo de $ a ^ 2 $ y, por lo tanto, de $ a $. Pero eso contradice que $ a $ y $ b $ no tengan factores comunes. Entonces $ b $ no puede tener factores primos. Pero el único entero positivo sin factores primos es $ 1 $ entonces $ b = 1 $ y $ n = a ^ 2 $ entonces $ sqrt {n} = a $. Entonces, para cualquier número entero, $ n $ es un cuadrado perfecto con una raíz cuadrada entera, o $ n $ no tiene una raíz cuadrada racional.
Y una pequeña advertencia: supongo que su clase o texto asume que todos los números reales tienen raíces cuadradas (y, por lo tanto, si no hay una raíz cuadrada racional, la raíz cuadrada debe ser irracional). Vale la pena señalar que, como resultado de un análisis real, hablar de una raíz cuadrada tiene algún sentido y que podemos reclamar cada número real positivo en realidad. lo hace tienen el mismo valor de raíz cuadrada. Pero eso probablemente esté más allá del alcance de este ejercicio.
Pero si quiero ser completamente exacto, usted (y yo) en realidad solo hemos probado que el entero positivo $ n $ tiene una raíz cuadrada entera o no tiene ninguna raíz cuadrada racional. Lo que es lo mismo que decir que si el número entero positivo $ n $ tiene una raíz cuadrada, la raíz es un número entero o irracional. Pero en realidad no hemos probado que el entero positivo $ n $ tenga raíz cuadrada.