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Solución:
La ecuación de Schrödinger es solo otra forma de escribir la conservación de la energía, ¿verdad?
Incorrecto. La motivación original de Erwin Schrödinger se puede leer en su artículo de 1926 An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules (detrás del muro de pago, pero se pueden encontrar fácilmente copias de lectura libre en la web).
A saber, el ansatz es la ecuación de Hamilton-Jacobi, cuya solución $ W (x, y, z, t) $ se ve como un conjunto de superficies de valor constante en $ (x, y, z) $ propagándose en el espacio como tiempo $ t $ cambios, una superficie (posiblemente disjunta) para un valor constante elegido. Reinterpretar estas superficies como las superficies de fase constante, o frentes de onda, de algunas ondas, nos da la idea de la cuántica. función de onda (cuya interpretación real no se conoció hasta que Max Born formuló la regla que lleva su nombre).
Ahora, cuando intentamos resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, encontramos que, en general, puede estar separada por variables para la dimensión del tiempo. $ t $ para producir una expansión de la función de onda en las funciones propias del operador hamiltoniano. Esto entonces nos da la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para las funciones propias individuales.
Esto no es muy diferente de lo que hacemos cuando resolvemos, por ejemplo, la ecuación de onda para la oscilación de una membrana similar a un tambor. Los nodos de los modos propios de vibración de dicha membrana forman las famosas figuras de Chladni.
Quiero decir, en todos los ejemplos que he visto, la función de onda se calcula usando senos y cosenos, así que no veo cómo se puede usar la ecuación de Schrödinger para encontrar una función de onda.
Los casos en los que se puede formar una función de onda con simplemente senos y cosenos son muy raros. Son los tipos de problemas más triviales que puedes resolver con la ecuación de Schrödinger. Incluso el oscilador armónico en la descripción de la mecánica cuántica requiere el uso de un conjunto de funciones que definitivamente no son senos ni cosenos.
Para entender cómo usar la ecuación de Schrödinger para encontrar una función de onda (supongo que te refieres a la función propia de hamiltoniano, en lugar de la evolución temporal de una función de onda arbitraria), intenta leer las derivaciones de las soluciones de varios problemas como el oscilador armónico cuántico y el hidrógeno. átomo.
Hay dos ecuaciones comúnmente llamadas ecuación de Schrödinger. La mayoría de los físicos que conozco preferirían llamar *:
$$ i hbar frac d dt | psi rangle = hat H | psi rangle $$
‘la’ ecuación de Schrödinger. Esto también se denomina ecuación de Schrödinger “dependiente del tiempo”. Es el reemplazo mecánico cuántico de la segunda ley de Newton:
$$ m frac d ^ 2 dt ^ 2 vec r = F ( vec r). $$
El TDSE te dice lo que $ | psi rangle $ será en el momento $ t + dt $ Si usted sabe $ | psi rangle $ en el momento $ t $ y el operador $ hat H $. Al incrementar en pequeños pasos de tiempo de esta manera, puede predecir el estado de un sistema cuántico arbitrariamente en el futuro si puede resolver el TDSE.
los otro La ecuación que la gente llama ecuación de Schrödinger es la ‘ecuación de Schrodinger independiente del tiempo’. Esto es un herramienta matemática utilizado en el proceso de resolución del TDSE completo. Esta ecuación dice algo como:
$$ hat H | E rangle = E | E rangle $$
donde ahora interpretamos el estado $ | E rangle $ no un estado arbitrario, sino un estado con un valor definido de energía igual a $ E $. El TISE entonces se lee como una ecuación que, dada la forma de $ hat H $ dice te permite resolver la forma de los estados con cada energía definida $ E $. Para muchos modelos, resultará que esto solo se puede resolver para ciertos valores discretos de $ E $. Eso significa que no hay estados con energías definidas intermedias, lo que a su vez da lugar a la discreción de los espectros atómicos, etc. (y el nombre ‘cuántico’, en última instancia).
* PD la notación $ | text cosas rangle $ simplemente significa ‘estado cuántico del sistema’. Es conveniente porque significa que puede etiquetar un estado $ | E rangle $ porque tiene energia $ E $ y no obtener el símbolo de $ | E rangle $ el estado y $ E $ el número confundido.
El conocimiento esencial sobre la ecuación de Schrödinger SE (limito mi publicación a la ecuación independiente del tiempo) es que es una ecuación de valor propio.
Supongo que conoce los conceptos básicos del álgebra lineal, por lo que si toma una, por ejemplo, una matriz de 2×2 $ A $, se puede establecer un problema de valor propio: supongamos
$$ A = left ( begin array cc 0 y 1 \ 1 y 0 end array derecha) $$
existe el siguiente problema de valor propio:
$$ A v = lambda v $$
que tiene una solución simple: $ lambda_ 1,2 = pm 1 $ y $ v_1 = left ( begin array c 1 \ 1 end array right) $ y $ v_2 = left ( begin array c -1 \ 1 end array right) $. En particular el espacio de soluciones
$$ v = langle v, v_1 rangle v_1 + langle v, v_2 rangle v_2 $$
abarcado por $ v_1 $ y $ v_2 $ es bidimensional.
La ecuación de Schroedinger es básicamente la misma con un par de diferencias: la matriz $ A $ es sustituido por el operador de Hamilton $ H $ y $ lambda $ son los valores de energía (eigen) y $ v $ corresponde a la función de onda $ psi $.
$$ H psi = E psi $$
Sin embargo, la diferencia sutil del SE con el problema del álgebra lineal es que el espacio al que pertenecen los vectores propios de esta ecuación es infinito (y se llama espacio de Hilbert). Una estrategia para encontrar la función de onda es buscar una base en este espacio infinito. Evidentemente, esto no es tan trivial. Pero las herramientas de la física matemática nos proporcionan un conjunto completo de funciones especiales.
Por ejemplo, veamos el 1-dim. oscilador armónico cuántico. En este caso tenemos suerte ya que los vectores propios se pueden construir a partir de los polinomios de Hermite $ H_n $ que tienen la siguiente forma (y son de número infinito):
$$ psi_n (x) = left ( frac m omega pi hbar right) ^ 1/4 frac 1 sqrt 2 ^ nn! exp (- frac m omega 2 hbar x ^ 2) H_n (x sqrt frac m omega hbar) quad text para quad n = 0, 1,2,3, ldots $$
y la solución del SE se puede construir como una combinación lineal infinita de estos vectores propios:
$$ psi = sum_ n = 0 ^ infty langle psi, psi_n rangle psi_n $$
con $ langle cdot, cdot rangle $ es el producto escalar en el espacio de Hilbert. Tenemos aún más suerte: aquí (¡no siempre es así!) Cada elemento de la base infinita incluso cumple la ecuación de valor propio:
$$ H psi_n = E_n psi_n quad text con quad E_n = hbar omega (n + frac 1 2) $$
Por supuesto, puede haber problemas que no requieran calcular los vectores propios, donde el cálculo de los valores propios es suficiente. Esto también sucede en álgebra lineal. Pero los autovectores, es decir, para el SE la función de onda, cumplen un papel esencial en el problema del SE-valor propio.
Una última palabra: el dominio donde se plantea el problema también juega un papel fundamental. En el caso del oscilador armónico es $ (- infty, infty) $, pero para un pozo de potencial infinitamente profundo es PS[-a, a]PS. En el último caso, la base del espacio de Hilbert (aquí, de hecho, podría obtener $ sin $‘arena $ cos $‘s) es completamente diferente a la base del espacio de Hilbert en el caso del 1-dim. oscilador armónico.
Además, la simetría y la dimensión juegan un papel crucial: de nuevo, una base adecuada del espacio de Hilbert para el 3-dim. El átomo de hidrógeno es completamente diferente al ya mencionado.