Hola, descubrimos la respuesta a tu interrogante, deslízate y la obtendrás aquí.
Solución:
Me gusta la respuesta de @Simon, pero mi método favorito personal para “derivar” la ecuación de Schrödinger es este.
Piense en el estado cuántico como si codificara alguna información sobre su sistema. Es decir, alguna versión cuántica de una distribución de probabilidad definida en un espacio vectorial (espacio de Hilbert).
¿Qué queremos de una distribución de probabilidad significativa? Primero, siempre debe normalizarse para que los resultados mutuamente excluyentes sumen una probabilidad de 1. Segundo, queremos que todas las probabilidades correspondientes a estos resultados sean siempre positivas o al menos 0. La forma más general de un operador de evolución temporal, es decir, digamos que un operador que actúa en su estado en el momento $ t_0 $ lo lleva a $ t_1 $ es el llamado mapa de conservación de trazas completamente positivo – http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_operation
Esto significa esencialmente que el mapa cumple con todos los requisitos que mencioné (hay algunas sutilezas, pero llevará más tiempo explicarlas).
Ahora, podemos preguntarnos ¿qué tipo de ecuación dinámica corresponde a este mapa? Queremos que la ecuación sea markoviana, que sea local en el tiempo para que el sistema no dependa de lo que sucedió hace mucho tiempo porque esto violaría la localidad en algún sentido.
Lindblad ha demostrado que la forma más general de tal ecuación es,
$$ dotrho=-isobrehbar[H,rho]+sum_n,m = 1^N^2-1 h_n,mleft(L_nrho L_m^dagger-frac12left(rho L_m^ daga L_n + L_m^daga L_nrhoderecha)derecha)$$
donde $rho$ es el estado, $H$ es el hamiltoniano, $h_m,n$ son algunas tasas y $L_m$ son los llamados operadores de Lindblad que pueden ser cualquier operador.
Sin embargo, como han demostrado Banks, Susskind y Peskin – http://adsabs.harvard.edu/abs/1984NuPhB.244..125B
este tipo de ecuación viola la conservación de la energía o la localidad a menos que todos los $h_m,n$ sean cero. Si viola la conservación de la energía, no puede describir un sistema cerrado que sea invariable con respecto a los cambios en el tiempo. Por lo tanto, los ponemos a 0 y obtenemos justo,
$$ dotrho=-isobrehbar[H,rho],$$
que es la ecuación de von Neumann, que se reduce a la ecuación de Schrödinger para estados puros, $rho=|psi rangle langle psi|$
Este es un enfoque bastante básico adecuado para estudiantes que hayan terminado al menos un semestre de introducción a la mecánica newtoniana, estén familiarizados con las ondas (incluida la representación exponencial compleja) y hayan oído hablar del hamiltoniano en un nivel en el que $H = T + V$. Por lo que yo entiendo, no tiene relación con el enfoque histórico de Schrödinger.
Aceptemos el desafío de Debye para encontrar la ecuación de onda que va con las ondas de De Broglie (restringiéndonos a una dimensión simplemente para mayor claridad).
Como estamos buscando una ecuación de onda supondremos que las soluciones tienen la forma $$ Psi(x,t) = e^i(kx – omega t) ;, tag1$$ y debido a que se supone que esto es para las ondas de De Broglie, requeriremos que beginalign E &= hf = hbar omega tag2\ p &= hlambda = hbar k ;. tag3 endalinear
Ahora es una observación interesante que podemos obtener la frecuencia angular $omega$ de (1) con una derivada en el tiempo y del mismo modo el número de onda $k$ con una derivada espacial. Si simplemente definir los operadores1
beginalign hatE = -frachbari fracpartialpartial t tag4\ hatp = frac{hbar i fracparcialparcial x ; tag5\ endalign de modo que $hatE Psi = E Psi$ y $hatp Psi = p Psi$.
Ahora, el hamiltoniano para una partícula de masa $m$ moviéndose en un campo de potencial fijo $V(x)$ es $H = fracp^22m + V(x)$, y debido a que esta situación tiene sin dependencia explícita del tiempo podemos identificar el hamiltoniano con la energía total del sistema $H = E$. Expandiendo esa identidad en términos de los operadores anteriores (y aplicándola a la función de onda, porque los operadores tienen que actuar sobre algo) obtenemos beginalign hatH Psi(x,t) &= hat E Psi(x,t) \ izquierda[ frachatp^22m + V(x) right] Psi(x,t) &= hatE Psi(x,t) \ left[ frac12m left( frachbari fracpartialpartial xright)^2+ V(x) right] Psi(x,t) &= -frachbari fracparcialparcial t Psi(x,t) \ left[ -frachbar^22m fracpartial^2partial x^2+ V(x) right] Psi(x,t) &= ihbar fracparcialparcial t Psi(x,t) ;. tag6\ endalign Reconocerás (6) como la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en una dimensión.
Así que la motivación aquí es
- Escribe una ecuación de onda.
- Haz que la energía y el impulso tengan las formas de De Broglie, y
- Requiere conservación de energía
pero esto no se parece en nada a una prueba porque el paso de la variable a los operadores se saca de un sombrero.
Como beneficio adicional, si usa el cuadrado del hamiltoniano relativista para una partícula libre $(pc)^2 – (mc^2)^2 = E^2$, este método también conduce naturalmente a la ecuación de Klein-Gordon.
1 En un lenguaje muy tosco, un operador es un objeto matemático similar a una función que toma una función como argumento y devuelve otra función. Las derivadas parciales obviamente califican en este frente, pero también lo hacen los factores multiplicativos simples: porque multiplicar una función por algún factor da como resultado otra función.
Seguimos una convención de notación común al denotar objetos que deben entenderse como operadores con sombrero, pero dejando el sombrero fuera de las formas explícitas.
Es sinónimo de dinámica de partículas cuánticas extrañas que se pueden expresar como una onda $psi$. Dado que la teoría cuántica es fundamentalmente probabilística, debemos escribir el hamiltoniano clásico en los valores esperados: $$langle Hrangle=langle Trangle+langle V(x,t)rangle$$
En mecánica cuántica usamos diferentes operadores que actúan sobre el estado $psi$ $$langle Hrangle=int ihbar fracddtpsi centerdot overlinepsidx$$ $ $langle Trangle=int – frachbar^22mfracd^2dx^2psi centerdot overlinepsidx$$ $$langle V(x,t)rangle=int V(x,t)|psi|^2dx$$
[NOTE: if you dare, you can actually derive previous expressions with Fourier methods and lesser assumptions, but genereally we take them granted since Schrödinger’s equation is a fundamental postulate in physics]
Después de usar el lema variacional obtienes: $$ ihbar fracddtpsi = – frachbar^22mfracd^2dx^2psi + V(x,t)psi $$.
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