Ya no necesitas indagar más por todo internet porque llegaste al espacio perfecto, contamos con la respuesta que necesitas encontrar y sin complicaciones.
Solución:
No, no puedes.
La función $psiinmathbb C$ tiene dos grados reales de libertad; son acoplados y dinámicos (sin calibre). Por otro lado, la función $rhoinmathbb R$ tiene una verdadero grado de libertad. Es imposible reducir la dinámica del sistema de dos variables a una variable sin perder información en el proceso.
(Pero, en un sentido formal: Sí, puedes)
Sea $psi=sqrtrhomathrm e^iS$, con $rho,S$ un par de variables reales. Puede escribir la ecuación de Schrödinger directamente en términos de $rho,S$ como (cf. Madelung o Bohm) beginequation beginaligned fracpartialsqrtrhopartial t &=-frac12mleft(sqrtrhonabla^2S+2nablasqrtrhocdotnabla Sright)\ fracparcial St parcial&=-left(frac^22m+V-frachbar^22mfracnabla^2sqrt rhosqrtrhoright) endalineado endecuación
Como puede ver, no puede escribir una ecuación para $rho$ solo, porque su ecuación está acoplada a una segunda incógnita, $S$. Dos grados reales de libertad, no uno. Hablando formalmente, puede resolver la ecuación para $S$ como un funcional de $rho$ y reemplazar el resultado en la ecuación para $rho$, obteniendo así una ecuación para $rho$ solamente. Esto no es práctico porque en realidad no es posible resolver para $S=S[rho]$ en términos generales, e incluso si pudiéramos, el funcional sería altamente no local, por lo que sería imposible trabajar con la ecuación resultante para $rho$. La ecuación de Schrödinger, escrita en términos de $psi$, aunque complicada, es tan simple como parece. Cualquier otra reformulación es mucho más engorrosa de usar.
Tenemos $psi^astnabla^2psi=dfrac2mhbar^2(VE)rho$ así que por conjugación compleja $psinabla^2psi^ast= dfrac2mhbar^2(VE)rho$. Por lo tanto, $$nabla^2 rho=psinabla^2psi^ast+psi^astnabla^2psi+2boldsymbolnablapsi^astcdotboldsymbol nablapsi=dfrac4mhbar^2(VE)rho+2boldsymbolnablapsi^astcdotboldsymbolnablapsi.$$Es que último término que se interpone en el camino. Hay más información mecánica cuántica en $psi$ que en $rho$, por lo que, en general, no podemos reescribir todo en términos de $rho$ solo.
La densidad de probabilidad no es un gran punto de comparación, porque no tiene absolutamente ninguna información sobre las propiedades del impulso del estado.
Esto va un poco más allá en el sentido de que el punto de comparación clásico correcto para cualquier formalismo de la mecánica cuántica no es realmente una perspectiva newtoniana de trayectoria única; en cambio, es la mecánica de Liouville de la densidad del espacio de fase $rho(x,p)$ de una partícula que obedece a la mecánica hamiltoniana clásica pero cuyo estado solo se conoce hasta una distribución de probabilidad en el espacio de fase, y cuya densidad entonces obedece la ecuación de Liouville $$ fracparcialrhoparcial t=-\,rho,H,. $$
Una vez que hagas eso, entonces allí es un análogo cuántico de la ecuación de Liouville, dada en esta respuesta por Qmechanic, donde necesita cambiar las multiplicaciones de funciones estándar para un producto de Moyal dependiente de $hbar$; la ecuación dinámica entonces dice $$ fracdrhodt = frac1ihbar [rhostackrelstar,H]. $$ Nunca he visto que esto se use con ira, pero eso podría deberse a que nunca he mirado los lugares que lo usan.
Sección de Reseñas y Valoraciones
Si entiendes que te ha sido de provecho este post, agradeceríamos que lo compartas con el resto juniors así nos ayudas a extender nuestra información.