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Solución:
Basta mostrar que si $I$ es cualquier subintervalo de $[a,b]$, luego $$sup_Ivert fvert-inf_Ivert fvertleq sup_I f-inf_I f, . $$ Si se hace esto entonces, dada cualquier partición $P$, aplique esta desigualdad a cada intervalo $I$ de la partición, multiplique por $vert Ivert$ y sume todo para obtener $U(P,vert f vert)-L(P,vert fvert)leq U(P,f)-L(P,f)$.
Entonces fijemos el intervalo $I$. Se pueden distinguir 3 casos.
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Si $inf_I fgeq 0$, entonces $fgeq 0$ en $I$ entonces $inf_I vert fvert=inf_I f$ y $sup_Ivert fvert =sup_I f$ y por lo tanto $sup_Ivert fvert-inf_Ivert fvert= sup_I f-inf_I f$.
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Si $sup_I fleq 0$, entonces $fgeq 0$ en $I$, entonces $inf_I vert fvert=-sup_I f$ y $sup_Ivert fvert =-inf_I f$ y por lo tanto $sup_Ivert fvert-inf_Ivert fvert= sup_I f-inf_I f$ otra vez.
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Si $inf_I f<0
Puedo proponer la siguiente prueba propia. 🙂 Dado que $f$ es (correctamente) Riemann integrable en $[a,b]$, $f$ está acotado en $[a,b]ps Por el teorema de Lebesgue, una función acotada $f$ en un segmento es Riemann integrable si y solo si el conjunto $D(f)$ de los puntos de discontinuidad de $f$ tiene la medida de Lebesgue $0$. Como la función $|cdot|$ es continua, $D(|f|)subset D(f)$. Así $0lemu(D(|f|))le mu(D(f))le 0$ y nuevamente por Lebesgue theom, la función $|f|$ es Riemann integrable en $[a,b]ps
Recuerdo Criterio de Darboux: $f: [a,b] rightarrow mathbbR$ es Riemann(-Darboux) integrable iff para todo $epsilon > 0$, hay una partición $mathcalP = a = x_0 < x_1 < ldots < x_n = b $ de $[a,b]$ tal que
$$omega(f,mathcalP) = sum_i=0^n-1 left(sup(f,[x_i,x_i+1])-inf(f,[x_i,x_i+1]) right) (x_i+1 – x_i) < epsilon.$$
La cantidad
$omega(f,[x_i,x_i+1]) = left(sup(f,[x_i,x_i+1])-inf(f,[x_i,x_i+1] derecho)$
a veces se le llama el oscilación de $f$ en el (sub)intervalo $[x_i,x_i+1]$, ya que mide la diferencia entre los valores mayor y menor. Afirmo que para cualquier función $f: I rightarrow mathbbR$, tomar el valor absoluto no aumenta la oscilación: $omega(|f|,I) leq omega(f,I)$. Este es un argumento simple que les dejo: observen que este argumento también subyace a la prueba de que si $f$ es continua, también lo es $|f|$. El resultado se sigue de esto aplicando dos veces el Criterio de Darboux.
Algunos comentarios:
1) Como dice Alex Ravsky en su respuesta, en realidad podemos “reducir” el problema a $f$ continuo en $a$ $implica$ $|f|$ continuo en $a$ usando el criterio de (Riemann-)Lebesgue que $f: [a,b] rightarrow mathbbR$ es integrable de Riemann si y sólo si está acotado y su conjunto de discontinuidades tiene medida cero. Esto es exagerado.
2) El resultado es un caso especial de otro resultado útil que se suele presentar en los cursos de análisis de pregrado: if $f: [a,b] flecha correcta [c,d]$ es Riemann integrable y $varphi: [c,d] rightarrow mathbbR$ es continua, entonces $varphi circ f$ es integrable de Riemann. Aplicando esto con $varphi(x)= |x|$ obtenemos el resultado. Para una demostración, véase el Teorema 8.17 de estas notas. Este resultado se puede aplicar, por ejemplo, para mostrar que el producto de dos funciones integrables de Riemann es integrable de Riemann.
3) La demostración del teorema antes mencionado no es tan fácil. Sin embargo, se vuelve mucho más fácil si $varphi$ no es solo continuo sino Lipschitz, es decir, si existe una constante $C$ tal que $|varphi(x)-varphi(y)| leq C|xy|$ para todo $x,y in [c,d]ps Este caso más simple se prueba por separado como el Teorema 8.20 en las notas anteriores, y la prueba se reduce a observar que para Lipschitz $varphi$, $omega(varphi circ f, I) leq C omega(f,I ps Tenga en cuenta que la función de valor absoluto es Lipschitz con $C = 1$, y esto es exactamente lo que observamos anteriormente.
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