Solución:
Primero, como $ , sin kx , $ es una función impar, $ , sin mx sin nx , $ es par, entonces
$$ int limits _ {- pi} ^ pi sin mx sin nx , dx = 2 int limits_0 ^ pi sin mx sin nx , dx $$
Ahora, por partes:
$$ u = sin mx ;, ; ; u ‘= m cos mx \ v’ = sin nx ;, ; ; v = – frac {1} {n} cos nx $$
asi que
$$ text {J:} = 2 int limits_0 ^ pi sin mx sin nx , dx = stackrel { text {esto es cero}} { overbrace { left .- frac {2 } {n} sin mx cos nx right | _0 ^ pi}} + frac {2m} {n} int limits_0 ^ pi cos mx cos nx , dx $$
Nuevamente, por partes:
$$ u = cos mx ;, ; ; u ‘= – m sin mx \ v’ = cos nx ;, ; ; v = frac {1} {n} sin nx ; ; ; Longrightarrow $$
$$ text {J} = left .- frac {2m} {n ^ 2} sin nx cos mx right | _0 ^ pi + frac {2m ^ 2} {n ^ 2} int limites_0 ^ pi sin mx sin nx , dx Longrightarrow $$
$$ left ( frac {n ^ 2-m ^ 2} {n ^ 2} right) text {J} = 0 ;, ; text {y por lo tanto} ; n neq m Longrightarrow text {J} , = 0 , $$
Si $ , n = m , $, luego de la línea donde aparece J por primera vez obtenemos
$$ 2 int limits_0 ^ pi sin mx sin mx , dx = 2 int limits_0 ^ pi cos mx cos mx , dx Longrightarrow $$ $$ 2 text {J} , = 2 int limits_0 ^ pi left ( cos mx cos mx + sin mx sin mx right) , dx = 2 int limits_0 ^ pi cos[(m-m)x], dx = $$
$$ = 2 int limits_0 ^ pi dx = 2 pi Longrightarrow , text {J} , = pi $$
Agregado: Usando el exponencial complejo:
$$ sin kx: = frac {e ^ {ikx} -e ^ {- ikx}} {2i} ;, ; ; k, x in Bbb R Longrightarrow $$
$$ text {J} , = 2 int limits_0 ^ pi sin mx sin nx , dx = – frac {1} {2} int limits_0 ^ pi left (e ^ { imx} -e ^ {- imx} right) left (e ^ {inx} -e ^ {- inx} right) dx = $$
$$ – frac {1} {2} int limits_0 ^ pi left[left(e^{ix(m+n)}+e^{-ix(m+n)}right)-left(e^{ix(m-n)}+e^{-ix(m-n)}right)right] dx = $$
$$ = int limits_0 ^ pi left ( cos (mn) x- cos (m + n) x right) dx = $$
$$ = begin {cases} int limits_0 ^ pi (dx- cos2mx) dx = pi- left. frac {1} {2m} sin 2mx right | _0 ^ pi = pi ; ;, ; ; ; ; m = n \ {} \ {} \ left. left ( frac {1} {mn} sin (mn) x- frac { 1} {m + n} sin (m + n) x right) right | _0 ^ pi = 0 ; ;, ; ; ; ; m neq n end {cases} $ PS
Por supuesto, el uso del exponencial complejo en este caso es una excusa poco convincente para “olvidar” la identidad trigonométrica básica que obtuvimos aquí y obtenerla de una manera bastante fácil.
INSINUACIÓN:
Realmente no necesitamos Integración por partes
Sabemos, $$ 2 sin mx sin nx = cos (mn) x- cos (m + n) x $$
$$ cos (mn) x- cos (m + n) x = begin {cases} 1- cos2nx & text {if} m = n, \ cos2nx-1 & text {if} m + n = 0. end {cases} $$
Ahora usa $ int cos axdx = frac { sin ax} a $
Utilice $ sin nx = frac {1} {2i} (e ^ {inx} – e ^ {- inx}) $ para obtener:
begin {align} sin nx sin mx & = – frac {1} {4} left (e ^ {inx} – e ^ {- inx} left) right (e ^ {imx} – e ^ {- imx} right) \ & = – frac {1} {4} left (e ^ {i (n + m) x} – e ^ {i (nm) x} – e ^ {i (mn) x} + e ^ {- i (n + m) x} right) end {align}
Por lo tanto:
begin {align} I = int _ {- pi} ^ pi sin nx sin mx , dx = – frac {1} {4} & left ( int _ {- pi} ^ pi e ^ {i (n + m) x} , dx – int _ {- pi} ^ pi e ^ {i (nm) x} , dx right. \ & left. – int_ { – pi} ^ pi e ^ {i (mn) x} , dx + int _ {- pi} ^ pi e ^ {- i (n + m) x} , dx right) end {alinear}
Tenga en cuenta que: $$ int _ {- pi} ^ pi e ^ {ikx} , dx = begin {cases} 0 & text {if} k ne 0 \ 2 pi & text {if } k = 0 end {casos} $$
Esto sigue por cálculo directo.
Por lo tanto, si $ n ne m $ y $ n ne -m $, todas las integrales en $ I $ son $ 0 $.
Si $ n = m $, tenemos:
$$ I = – frac {1} {4} (- 2 pi -2 pi) = pi $$
Si $ n = -m $, tenemos: $$ I = – frac {1} {4} (2 pi + 2 pi) = – pi $$
Si asume que $ n, m ge 0 $, puede ignorar el último caso.