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Solución:
Sea $mathcalO$ una tapa abierta de $Y$. Dado que $mathcalO$ es una cubierta abierta de cada $Y_i$, existe una subcubierta finita $mathcalO_i subset mathcalO$ que cubre cada $Y_i$. Entonces $bigcup_i=1^n mathcalO_i subset mathcalO$ es una subcubierta finita. Eso es todo; no hay necesidad de lidiar con secuencias.
Parece que su definición de compacidad es que cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. Aquí hay algo con lo que debes tener cuidado: ¡estás usando $n$ para dos cosas diferentes! Lo usa primero como el índice más alto de su $Y_i$s, y luego como la variable de índice de su secuencia arbitraria. En su lugar, vamos con $Y_1,…,Y_k$ como conjuntos compactos.
Ahora, su prueba hace el trabajo, pero su desvío hacia la posibilidad de que “todo menos un número finito de $y_n$ se encuentran en algún $Y_i$” (cómo comienza su prueba) es innecesario, al igual que la inducción. Podemos llegar allí de forma más sencilla si recordamos que una unión de un número finito de conjuntos finitos es de nuevo un conjunto finito.
Para $1le ile k,$ sea $$mathcal I_i=ninBbb N:y_nin Y_i.$$ (Es decir, $mathcal I_i$ es el conjunto de índices de elementos de secuencia que se encuentran en $Y_i$.) Dado que $y_n$ están todos en $Y=bigcup_i=1^kY_i,$ entonces $bigcup_i=1^kmathcal I_i=Bbb N, $ de donde al menos uno de los $mathcal I_i$ es infinito (por el hecho de que recordamos antes). Sin pérdida de generalidad, supongamos que $mathcal I_1$ es infinito, de modo que los puntos $y_n$ que se encuentran en $Y_1$ forman una subsecuencia de $y_n_n=0^infty.$ Entonces podemos procede como lo hiciste.
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