Este equipo de trabajo ha estado por horas investigando para dar soluciones a tu interrogante, te regalamos la respuesta por eso nuestro objetivo es serte de mucha apoyo.
Solución:
La respuesta depende de su teoría de conjuntos.
Si su teoría de conjuntos incluye el axioma de elección (contable), entonces puede proceder de la siguiente manera:
- Para cada $ninmathbbN$, seleccione una biyección $f_ncolon X_ntomathbbN$. (Este paso requiere el Axioma de Elección Contable);
- Seleccione una biyección $gcolonmathbbNtimesmathbbNtomathbbN$; hay varios ejemplos explícitos de esto. Por ejemplo, la función de emparejamiento de Cantor $g(p,q) = frac(p+q)(p+q+1)2+q$.
- Defina $fcolon bigcuplimits_ninmathbbN(X_ntimesn)to mathbbN$ asignando $(x,n)$ a $g( f_n(x),n)$.
Esto define una biyección entre el unión disjunta de $X_n$ en $mathbbN$. Para obtener una biyección en el caso de que $X_n$ no sean disjuntos, tenga en cuenta que $bigcuplimits_ninmathbbN X_n$ se incrusta en la unión disjunta (mapee $x$ en la unión a $ (x,m)$ donde $m$ es el $ninmathbbN$ más pequeño tal que $xin X_n$), que es biyectable a $mathbbN$; luego use el Teorema de Cantor-Bernstein aplicado a esta incrustación y a la incrustación que asigna $mathbbN$ a $X_1$ en la unión para obtener una biyección.
Sin embargo, si su teoría de conjuntos no incluye el Axioma de Elección, entonces la respuesta puede ser que la unión no necesita ser biyectable con $mathbbN$. En particular, es consistente con ZF que los números reales son una unión contable de conjuntos contables y, por supuesto, los números reales no son biyectables con $mathbbN$.
Si desea mostrar que la unión contable de subconjuntos contables es contable, puede usar Cantor-Schroeder-Bernstein (no creo que use AC, incluso en verano :)) y configurar inyecciones entre $mathbb N $ y $mathbb N times mathbb N $, y viceversa, generalizando esto:
tome dos números primos cualesquiera, digamos 2,3, y asigne: $(a,b)rightarrow 2^a3^b$ (puede ver que, para generalizar a un producto de k-copias de $mathbb N$, simplemente tome k números primos diferentes; si desea un producto contablemente infinito, esto es quizás más delicado), y una inyección en la dirección opuesta viene dada por, por ejemplo, n->(n,0,0,…).
Y, por cierto, cualquier elección de inyecciones en CSBernstein permite construir una biyección real.
EDITAR: Creo que no es muy difícil mostrar el mapa (a,b)->$2^a3^b$ es una inyección; si tuviéramos $2^a3^b=2^a’3^b’$, se seguiría que $2^a-a’3^b-b’=1$; por simples argumentos de divisibilidad, cada uno de los factores del lado izquierdo tendría que dividir 1; luego se sigue que a-a’=0 y b-b’=0, es decir, a=a’, b=b’.
EDICIÓN n. ° 2: consulte algunas de las advertencias en la sección de comentarios sobre cómo concluir que la unión de contables es contable.