Nuestro equipo de trabajo ha estado horas investigando la solución a tu pregunta, te dejamos la resolución de modo que nuestro objetivo es servirte de mucha ayuda.
Solución:
Estoy bastante seguro de que no se sabe nada en este sentido.
Hasta finales de la década de 1990 no se conocían secuencias dispersas polinómicas “elementales” que contuvieran un número infinito de números primos.
. En 1998, Friedlander e Iwaniec demostraron que la secuencia de números enteros de la forma $x^2 +y^4$ contiene infinitos números primos. El número de elementos de esta secuencia menor que $N$ es $N^3/4$. En 2001, Heath-Brown demostró que la secuencia de números enteros de la forma $x^3+2y^3$ contiene infinitos números primos. El número de elementos de esta secuencia menor que $N$ es $N^2/3$. Este parece el mejor resultado en esta dirección hasta la fecha. Parece que no se sabe nada (aparte de los límites superiores de la teoría del tamiz) sobre los polinomios en una sola variable (aparte de las ecuaciones lineales/progresiones aritméticas, por supuesto).
Si hubiera un polinomio cuyas iteraciones contuvieran infinitos números primos, esto daría una secuencia exponencialmente escasa con infinitos números primos. Esto parece estar lejos de cualquier cosa que alguien pueda probar en la actualidad. En particular, no parece haber una secuencia de enteros construible en tiempo polinomial (en la longitud de bits) que se demuestre que es primo infinitamente a menudo y cuya intersección con los primeros $N$ enteros es menor que $N^1/2$ . De hecho, tal resultado arrojaría nuevos resultados sobre el problema de la construcción determinista de grandes números primos (ver el proyecto Polymath 4).
Por otro lado, hay algunos trabajos notables en los que se han obtenido estimaciones no triviales del número de divisores primos de sucesiones obtenidas mediante iteraciones de varios polinomios cuadráticos. Ver: R. Jones, La densidad de los divisores primos en la dinámica aritmética de los polinomios cuadráticos. J. Lond. Matemáticas. Soc. (2) 78 (2008), n. 2, 523–544 Actualizar:
De hecho, me había olvidado del teorema de los números primos de Piatetski-Shapiro cuando escribí esto. Sin embargo, el mejor exponente de este resultado es un conjunto de densidades alrededor de $N^.861$, que es inferior al resultado de Heath-Brown para los propósitos discutidos aquí. Como dice Mark, no se sabe nada sobre infinitos números primos en secuencias dinámicas, aparte de los que contienen una progresión aritmética. Una pregunta más fácil, pero aún útil, es la de los divisores primos primitivos. Un primo $p$ es un divisor primo primitivo de $f^n(x)$ si $pmid f^n(x)$ y $pnmid f^m(x)$ para todo $mlt n$. Existe una vasta literatura sobre divisores primos primitivos en varios tipos de secuencias. En general, si $mathcalA=(a_n)$ es una secuencia de números enteros, o más generalmente, números racionales, el [1] conjunto zsigmondy [2] de $mathcalA$ es $$ mathcal Z(mathcal A) = n : hboxel numerador de $a_n$ no tiene divisores primos primitivos . $$ Patrick Ingram y yo
[1] mostró que bajo hipótesis adecuadas sobre $finmathbbQ(T)$ y $x,yinmathbbQ$, el conjunto de Zsigmondy $mathcalZ(f^n(x)- y)$ es finito. Además de algunas condiciones obvias necesarias para evitar contraejemplos triviales, necesitábamos suponer que $y$ es preperiódica para $f$. Recientemente, Gratton, Nguyen y Tucker eliminó esta restricción en $y$, condicionada a la conjetura $abc$.Ingram, Patricio; Silverman, Joseph H.; Divisores primitivos en aritmética dinámica. Matemáticas. proc. Filosofía de Cambridge. Soc.
[2] 146
(2009), núm. 2, 289–302 (MR2475968)
Chad Gratton, Khoa Nguyen, Thomas J. Tucker, ABC implica divisores primos primitivos en dinámica aritmética, versión preliminar, http://arxiv.org/abs/1208.2989
En 1947, el estadounidense William. H. Mills demostró que existe un número real $A$, mayor que 1 pero no entero, tal que la parte entera de true $$ A^3^n $$
es primo para todo $n =1, 2, 3, ldots$. El número $A$ se conoce como la constante de Mill. Su valor es desconocido, pero si la hipótesis de Riemann es
[1] luego, $$ A aprox. 1,3063778838630806904686144926ldots $$Mills, WH (1947) Una función de representación prima. Toro. Amer. Matemáticas. Soc., 53 : 604:
[2] [Mill’s constant]SRES
8, 567.1