Ten en cuenta que en las ciencias cualquier problema casi siempere suele tener diferentes resoluciones, pero te mostraremos lo más óptimo y eficiente.
Solución:
Simplemente agregue la función de identidad, $textid(x) = x$, a la función de Cantor, $textc$. La suma de funciones continuas es continua, y la suma de una función creciente con una estrictamente creciente es estrictamente creciente.
Como en la demostración de que $textc$ no es absolutamente continuo, elija $epsilon < 1$. For every $delta > 0$ hay una secuencia disjunta finita por pares de intervalos $(x_k,y_k)$ que cubre el conjunto de Cantor de medida cero con
$$ sum_k |y_k – x_k| < delta $$
Y dado que $textc$ solo cambia en el conjunto de Cantor
$$sum_k |textc(y_k) – textc(x_k)| = 1$$
Pero
$$beginalign (textid(y_k) + c(y_k)) – (textid(x_k) + c(x_k)) &= (textid(y_k) – textid(x_k)) + (c(y_k) – c(x_k)) \ &ge c(y_k) – c(x_k) endalinear$$
Así que a fortiori
$$sum_k |(textid(y_k) + c(y_k)) – (textid(x_k) + c(x_k) )| ge 1$$
Dejar $f:[0,1)to mathbbR$, $f(x)=tan(pi x/2)$. This function is continuous and strictly increasing but not absolutely continuos.
Just to show that this function is in fact not absolutely continuous. Take $epsilon=1$, and suppose there is a $delta>0$ such that whenever a finite sequence of pairwise disjoint sub-intervals $(x_k,y_k)$ of $[0,1)$ satisfies $sum_k|x_k – y_k| < delta$ then we have $sum_k |f(y_k)-f(x_k)| < 1$.
Since $lim_x to 1-f(x) = +infty$ and $f$ is continuous, let $x_0 in [1-delta,1)$ so we can get $y_0 in [1-delta,1)$ such that $f(y_0)-f(x_0)>1$.
Using only the interval $(x_0,y_0)$ to test the definition of absolute continuity we have then that $|y_0 – x_0|
Counterexample number $8.30$ of “Counterexamples in Analysis” by Gelbaum and Olmsted (which can be found here) provides a continuous, strictly increasing function on $[0,1]$ que es singular. Como no es constante, tampoco puede ser absolutamente continuo.
Te mostramos las reseñas y valoraciones de los usuarios
Ten en cuenta difundir este escrito si te fue de ayuda.