El paso a paso o código que verás en este post es la resolución más fácil y válida que encontramos a esta duda o problema.
Solución:
Una función $f: E to mathbbR$ es absolutamente continuo en un intervalo $E$ si por cada $epsilon > 0$ hay un $delta > 0$ tal que siempre que una secuencia finita de subintervalos disjuntos por pares $(x_k, y_k)$ de $E$ satisface
$$ sum_k |y_k – x_k| < delta$$
después
$$sum_k |f(y_k) – f(x_k)| < epsilon$$
Dicho en palabras, una función absolutamente continua no fluctúa en un conjunto de medida cero. Para ver que la función de Cantor no es absolutamente continua, elija $epsilon < 1$. Then, for every $delta > 0$, puedo encontrar una colección de intervalos $(x_k,y_k)$ que cubren los puntos de Cantor en $[0,1]$ tal que
$$ sum_k |y_k – x_k| < delta$$
esto se debe a que el conjunto de Cantor tiene medida cero. Sin embargo, dado que la función de Cantor solo cambia en el conjunto de Cantor,
$$sum_k |f(y_k) – f(x_k)| = 1$$
y se viola la continuidad absoluta.
De manera más general, tenga en cuenta que la función de Cantor es singular. Es fácil probar (y se siente correcto intuitivamente) que una función singular absolutamente continua debe ser constante. Sin embargo, la función de Cantor está lejos de ser constante.
Una definición de funciones absolutamente continuas es que asignan conjuntos de medida cero a conjuntos de medida cero. Sin embargo, la función ternaria de cantor mapea el conjunto de cantor (de medida cero) en $[0,1]ps
Dejar $f$ Sea la función de Cantor. $f$ es creciente no negativo, $f(0)=0$ y $f(1)=1$. Después $f$ es diferenciable ae y ya que $f$ es constante en cada intervalo eliminado en la construcción del conjunto de Cantor, $f^principal=0$ ae
Una vez que asumimos que $f$ es absolutamente continua, tenemos
$$int_0^1 f^prime=f(1)-f(0),$$
pero esto dice que $0=1$. De este modo $f$ no puede ser absolutamente continuo.
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