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Ejemplo de función estrictamente creciente continua pero no absolutamente continua

Ten en cuenta que en las ciencias cualquier problema casi siempere suele tener diferentes resoluciones, pero te mostraremos lo más óptimo y eficiente.

Solución:

Simplemente agregue la función de identidad, $textid(x) = x$, a la función de Cantor, $textc$. La suma de funciones continuas es continua, y la suma de una función creciente con una estrictamente creciente es estrictamente creciente.

Como en la demostración de que $textc$ no es absolutamente continuo, elija $epsilon < 1$. For every $delta > 0$ hay una secuencia disjunta finita por pares de intervalos $(x_k,y_k)$ que cubre el conjunto de Cantor de medida cero con

$$ sum_k |y_k – x_k| < delta $$

Y dado que $textc$ solo cambia en el conjunto de Cantor

$$sum_k |textc(y_k) – textc(x_k)| = 1$$

Pero

$$beginalign (textid(y_k) + c(y_k)) – (textid(x_k) + c(x_k)) &= (textid(y_k) – textid(x_k)) + (c(y_k) – c(x_k)) \ &ge c(y_k) – c(x_k) endalinear$$

Así que a fortiori

$$sum_k |(textid(y_k) + c(y_k)) – (textid(x_k) + c(x_k) )| ge 1$$

Dejar $f:[0,1)to mathbbR$, $f(x)=tan(pi x/2)$. This function is continuous and strictly increasing but not absolutely continuos.

Just to show that this function is in fact not absolutely continuous. Take $epsilon=1$, and suppose there is a $delta>0$ such that whenever a finite sequence of pairwise disjoint sub-intervals $(x_k,y_k)$ of $[0,1)$ satisfies $sum_k|x_k – y_k| < delta$ then we have $sum_k |f(y_k)-f(x_k)| < 1$.

Since $lim_x to 1-f(x) = +infty$ and $f$ is continuous, let $x_0 in [1-delta,1)$ so we can get $y_0 in [1-delta,1)$ such that $f(y_0)-f(x_0)>1$.

Using only the interval $(x_0,y_0)$ to test the definition of absolute continuity we have then that $|y_0 – x_0| but $|f(y_0) – f(x_0)|>1$. Therefore, $f$ is not absolutely continuous.

Counterexample number $8.30$ of “Counterexamples in Analysis” by Gelbaum and Olmsted (which can be found here) provides a continuous, strictly increasing function on $[0,1]$ que es singular. Como no es constante, tampoco puede ser absolutamente continuo.

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