El tutorial o código que hallarás en este artículo es la resolución más rápida y efectiva que encontramos a esta inquietud o dilema.
Solución:
Recuerdo haber respondido una pregunta similar no hace mucho: Constantes en la ecuación de Laplace para un cubo.
Hagamos que el problema revele más la estructura escalando $Omega$ a $[0,pi]^2$. Sin considerar ninguna condición de frontera, usando la separación de variables: $u(x,y) = X(x)Y(y)$ te lleva a: $$ X” – lambda X = 0,quadtexty quad Y” + lambda Y = 0.tag1 $$ If $lambda = omega^2 >0$ (podría ser al revés, o $0$ pero ese es el caso trivial donde la solución está dividido por $1,x,y,xy$ y no puede tener condiciones de contorno periódicas), luego resolver (1) conduce a $$ u(x,y) = sum_omegain A c_omega(a_1 e^-omega x + a_2 e^omega x)big(b_1 cos (omega y) + b_2 sin (omega y)big) , tag2 $$ Vamos a restringir $A$ como $mathbbN$ por ahora si esta elección puede generar todas las funciones en el espacio de solución que necesitamos. Ahora, en la condición de contorno, básicamente queremos usar la condición de contorno para precisar $a_1,a_2,b_1,b_2$ (también dependen de $omega$), y $c_omega$: $$ u( x,0) = u(x,pi),quadtextyquad u(0,y) = u(pi,y). $$ El primero da: $$ sum_omegain A c_omega(a_1 e^-omega x + a_2 e^omega x) b_1 = -sum_omega in A c_omega(a_1 e^-omega x + a_2 e^omega x) b_1, $$ que conduce a $b_1 = 0$. El segundo da: $$sum_omegain A c_omega(a_1 + a_2 )b_2 sin (omega y) = sum_omegain A c_omega( a_1 e^-omega pi + a_2 e^omega pi)b_2 sin (omega y).$$ Aquí es donde las cosas se vuelven bastante vagas, si solo defines $u(0,y ) = u(pi,y)$, no es que ambos sean iguales a alguna función específica, no podemos encontrar todos esos coeficientes.
Ahora, respondiendo a su pregunta, no podemos decir que la familia de soluciones a este problema es única hasta una constante, ¡porque tenemos dos familias de soluciones! Además de (2), podemos establecer $lambda = -omega^2<0$ y obtener la otra familia: $$ u(x,y) = sum_omegain A c_omega big(a_1 cos (omega x) + a_2 sin (omega x)big)(b_1 e^-omega y + b_2 e^omega y), tag3 $ $ donde la familia (2) corresponde a la condición de contorno $u(x,0) = u(x,pi) = 0$, y la familia (3) corresponde a la condición de contorno $u(0,y) = u(pi ,y) = 0$.
La solución en la familia (3) no puede ser una constante más una solución en la familia (2). Solo piense en una onda sinusoidal plana que viaja a lo largo del eje $x$, agregando una constante que se desplaza hacia arriba o hacia abajo, no podemos convertirla en una onda sinusoidal plana que viaja a lo largo del eje $y$.
¡E incluso para la solución en la misma familia no podemos hacer eso! Piense en la superposición infinita de diferentes frecuencias de ondas sinusoidales a lo largo de una misma dirección: digamos que establecemos $u(x,0) = u(x,pi) = 0$, $u(0,y) = u(pi ,y) = g(y)$, y absorba $c$ en $a_1$ y $a_2$: $$ u(x,y) = sum_omegain A (a_1 e^-omega x + a_2 e^omega x) sin (omega y),tag$dagger$ $$ la segunda condición de contorno conduce a: $$ sum_omegain A (a_1 + a_2 ) sin (omega y) = sum_omegain A (a_1 e^-omega pi + a_2 e^omega pi) sin (omega y) = g(y), $$ para $g$ permisibles cuya expansión de Fourier solo tiene términos seno. Multiplicando arriba para una frecuencia específica $sin (omega_0 y)$ e integrando en $[0,pi]$ da: $$ int^pi_0 g(y)sin (omega_0 y) ,dy=int^pi_0 (a_1 + a_2 ) sin^2 (omega_0 y) ,dy= int^pi_0 (a_1 e^-omega_0pi + a_2 e^omega_0 pi) sin^2 (omega_0 y),dy, $$ que es: $$ int^pi_0 g(y)sin (omega_0 y) ,dy = fracpi2 (a_1 + a_2 ) = fracpi2 (a_1 e^-omega_0pi + a_2 e^omega_0pi). $$ Resolviendo lo anterior se obtiene: $$ beginreunidos a_1 = frac2(e^omega_0pi-1)pi(e^omega_0pi – e^- omega_0pi)int^pi_0 g(y)sin (omega_0 y) ,dy, \ a_2 = frac2(1-e^-omega_0pi) pi(e^omega_0pi – e^-omega_0pi)int^pi_0 g(y)sin (omega_0 y) ,dy. endreunidostag$ddagger$ $$ Podemos ver por esta relación de coeficiente, si agregamos otro $h(y)$ permitido a $g(y)$, no producirá una solución agregando una constante. A los coeficientes originales de los $ (a_1 e^-omega x + a_2 e^omega x)$ se le suman unos coeficientes, diferentes para cada frecuencia $omega_0$, a partir de $g(y)$ . Realmente esto no difiere de la solución basada en la condición de frontera $g(y)$ por una constante.
último comentario: incluso si solo agregamos otro constante a $g(y)$, no podemos decir que la nueva solución solo difiere de la solución anterior en una constante.
Un ejemplo sencillo es que si primero tenemos $u(x,0) = u(x,pi) = 0$, y $u(0,y) = u(pi,y) = 1$, tenemos una solución $u_1(x,y)$, luego sumamos 1 a la condición de frontera $u(0,y) = u(pi,y) = 1$, por $(dagger)$ y $(ddagger )$, la solución $u_2(x,y) = 2u_1(x,y)$, duplicando la amplitud en lugar de diferir por una constante.
Si agregamos una constante a ambas condiciones de contorno, creo que obtenemos un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo, es decir, $u_2 = u_1 +C$.