El tutorial o código que encontrarás en este artículo es la resolución más sencilla y efectiva que hallamos a esta duda o dilema.
Solución:
Como resultado, esa es en realidad una pregunta muy no trivial. Supongo que sabe que cada dominio euclidiano es un UFD. Sin embargo, también es útil recordar la definición de dominio integralmente cerrado. Es decir, un dominio integral $R$ con campo de fracciones $K$ se considera integralmente cerrado si para cualquier polinomio mónico $p(x) = x^n + a_n-1x^n-1 + ldots + a_0in R[x]$, si $p$ tiene una raíz $alphain K$, entonces $alphain R$. Se puede demostrar que cualquier UFD es un dominio integralmente cerrado y que $mathbbZ[sqrtd]$ nunca se cerrará integralmente para $d$ sin cuadrados.
En segundo lugar, si $d$ no tiene cuadrados, entonces dado que no estar cerrado integralmente es una obstrucción para ser un UFD (que es necesario para ser un ED), a menudo extenderemos $mathbbZ[sqrtd]$ en el subanillo de su campo fraccionario $mathbbQ(sqrtd)$ que contiene precisamente las soluciones de los polinomios mónicos en $mathbbZ[sqrtd]$, que de hecho es un anillo, y llamaremos a este anillo $mathcalO_mathbbQ(sqrtd)$. Es un teorema en la teoría algebraica de números que para enteros libres de cuadrados distintos de cero $d$, $$mathcalO_mathbbQ(sqrtd) = begincasos mathbb Z[sqrtd] & mathrmsi dequiv 2,3mod 4 \ mathbbZleft[frac1+sqrtd2right] & mathrmif dequiv 1mod 4 endcases$$ lo que nos dice que para $mathbbZ[sqrtd]$ para ser un dominio euclidiano, debemos tener que $dequiv 2,3mod 4$.
Aquí es donde llegamos a nuestra próxima complicación: la teoría algebraica de números nos proporciona una norma natural $N(a+bsqrtd) = a^2 – db^2$ que es multiplicativa y toma elementos de $mathcal O_mathbbQ(sqrtd)$ a enteros, como se puede comprobar. Un anillo que es euclidiano bajo esta norma se dice que es norma euclidiana. Existen anillos que son euclidianos pero no norma-euclidianos, como $$mathbbZleft[frac1+sqrt692right]$$ pero que yo sepa, este tipo de anillos no se entienden completamente. Sin embargo, entendemos completamente qué anillos cuadráticos son norma-euclidianos. De hecho, $mathcalO_mathbbQ(sqrtd)$ es norma euclidiana si y solo si $$d = -11, -7, -3, -2, -1 , 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, mathrm o 73$$ y así, $mathbbZ[sqrtd]$ es norma euclidiana si y solo si $$d = -2, -1, 2, 3, 6, 7, 11, mathrm o 19.$$ En realidad no sé si hay alguna Dominios euclidianos que no son norma-euclidianos de la forma $mathbbZ[sqrtd]ps Mi sospecha es que no los hay, aunque realmente está más allá de mis habilidades probar esto.
Solo quiero completar un detalle que se insinuó en la respuesta de Monstrous Moonshine, que es demasiado larga para un comentario.
Si $d equiv 1 pmod 4$, entonces $mathbb Z[sqrt d]$ ciertamente no es un dominio euclidiano. Basta probar $gcd(2, 1 + sqrt d)$. Claramente, ambos números tienen una norma par, y el último tiene una norma con un valor absoluto mayor que el primero, lo que sugiere que el primero debería ser un divisor del segundo.
Pero $$frac1 + sqrt d2 notin mathbb Z[sqrt d].$$ Peor aún, $1 + sqrt d$ es probablemente irreducible, lo que significaría que este dominio no tiene factorización única.
Sin embargo, $$Nleft(frac1 + sqrt d2right) = left(frac12right)^2 – left(frac{sqrt d 2right)^2 = frac14 – fracd4 = frac1 – d4,$$ que es un número entero porque $d equiv 1 pmod 4$, entonces este número que no parece un entero algebraico es de hecho un entero algebraico.
Entonces $mathbb Z[sqrt d]$ no es un dominio “completo” de enteros algebraicos. “Le falta cierre integral”, es el término técnico, creo. Si ampliamos nuestra vista a este dominio “más grande”, que podemos notar $mathcal O_mathbb Q(sqrt d)$, entonces para resolver $gcd(2, 1 + sqrt d)$ con $1 + sqrt d = 2q + r$ para que $-4 < N(r) < 4$, simplemente establecemos $$q = frac1 + sqrt d2$$ y $r = 0$ . Por supuesto, esto no garantiza que cada par de números en $mathcal O_mathbb Q(sqrt d)$ pueda tener su GCD resuelto por el algoritmo euclidiano con alguna función euclidiana, y mucho menos la función norma específicamente.
Un ejemplo concreto: $mathbb Z[sqrt21]ps Entonces 2 tiene una norma de 4, y $1 + sqrt21$ tiene una norma de $-20$, que en valor absoluto es mayor que 4. Vemos que $$frac1 + sqrt21 2$$ es un entero algebraico que tiene un polinomio mínimo de $x^2 – x – 5$ y una norma de $-5$, y eso es claramente un divisor de $-20$.
Si estás de acuerdo, puedes dejar un tutorial acerca de qué le añadirías a este tutorial.