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Solución:
Si $BbbZ[X]$ fuera un dominio ideal principal, entonces su cociente por el ideal generado por $~X$, un elemento que obviamente es irreducible, tendría que ser un campo. Pero es claro que $Bbb Z[X]/(X)congBbb Z$ que no es un campo.
Insinuación: Considere el $(2, x)$ ideal. Demostrar que no es principal.
Supongamos que $(2, x) = (p(x))$ para algún polinomio $p(x) in mathbb Z[x]ps Como $2 in (p(x))$, entonces $2 = p(x) q(x)$ para algún polinomio $q(x)in mathbb Z[x]ps Como $mathbb Z$ es un dominio integral, tenemos $operatornamegrado p(x)q(x) = operatornamegradop(x) + operatornamegradoq(x)$. Por lo tanto, tanto $p(x)$ como $q(x)$ deben ser constantes. Las únicas opciones posibles para $p(x)$ son $\pm 1, pm 2$. Cada posibilidad da una contradicción. Te dejaré mostrar esto.
Aquí hay un resultado general:
Si $D$ es un dominio, entonces $D[X]$ es un PID si $D$ es un campo.
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