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Solución:
Para derivar la mgf de la distribución binomial negativa vamos a utilizar la siguiente identidad:
$$binom-ry=left( -1 right)^y binomr+y-1y $$
Podemos demostrarlo de la siguiente manera:
$$beginalign binom-ry & = frac left( -r right) left(-r-1 right) ldots left(-r-y+1 right)y!\ & = left(-1 right)^y frac left(r+y-1 right) ldots left( r+1 right)r y! \ & = left(-1 right)^y binomr+y-1y endalign$$
Ahora
$$M left( t right)=sum_y=0^infty e^ty binomy+r-1r-1 left( 1-p right )^y veces p^r $$
Agrupando términos y usando la identidad anterior obtenemos:
$$beginalign M left( t right)& =p^r sum_y=0^infty binomy+r-1r-1 left[ e^t left( 1-p right) right]^y \&=p^rsum_y=0^infty binom-ryleft( -1 right)^yleft[ e^t left( 1-p right) right]^y \& =p^rsum_y=0^infty binom-ryleft[ -e^t left( 1-p right) right]^y endalinear $$
Luego, usando el teorema del binomio de Newton: $left( x+1 right)^r= sum_i=0^infty relegir ix^i$ siempre que $|x|<1$el último término se convierte en:
$$M left(t right)= fracp^rleft[ 1- left(1-p right)e^t right]^r$$
siempre que $t<-log(1-p)$
Tenga en cuenta que la distribución binomial negativa también puede venir con una parametrización ligeramente diferente, como se ha señalado en los comentarios. Te dejo a ti derivar el mgf para el otro caso.
Espero que esto ayude.
El mgf de una suma de variables aleatorias independientes es solo el producto de sus mgf, por lo que
$$ M_Y_1+cdots+Y_r(t) = left( M_Y_1(t) right)^r. $$beginalign M_Y_1(t) & = operatorname E(e^tY_1) = sum_y=1^infty e^ty Pr(Y_1=y) \[10pt]
& = sum_y=1^infty e^ty p(1-p)^y-1 = fracp1-p sum_y=1^infty left(e^t(1-p)right)^y \[10pt]
& = fracp1-p cdot fractextprimer término1-textrazón común \[10pt]
& = fracp1-pcdotfrace^t(1-p)1-e^t(1-p) \[10pt]
& = frace^tp1-e^t(1-p). endalinear
(Entonces recuerda elevarlo todo a la potencia $r$.)
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