Luego de mucho luchar ya encontramos la contestación de este atascamiento que agunos lectores de nuestro espacio presentan. Si quieres aportar algún detalle puedes dejar tu comentario.
Solución:
Me gustaría dar otra respuesta. En lugar de la “integración repetida por partes” en la otra respuesta, podemos hacer lo siguiente:
Sabemos que la definición de la función gamma es la siguiente:
$$Gamma(s) = int_0^infty x^s-1e^-xdx$$
Ahora $int_0^infty e^txfrac1Gamma(s)lambda^sx^s-1 e^-xlambdadx$ = $fraclambda^sGamma(s)int_0^infty e^(t-lambda)xx^s-1dx$. Luego integramos por sustitución, usando $u = (lambda – t)x$así también $x=fraculambda-t$. esto nos da $fracdudx=lambda – t$es decir $dx = fracdulambda-t$. Ahora pongamos esto en la integral, entonces obtenemos:
$$fraclambda^sGamma(s)int_0^infty e^-uleft(fraculambda -tright)^s -1fracdulambda-t = left(fraclambdalambda-tright)^sfrac1Gamma(s)int_0^ infty u^s-1e^-udu$$
Aquí, en el lado derecho, reconocemos la integral como la función gamma, por lo que obtenemos $left(fraclambdalambda-tright)^sfracGamma(s)Gamma(s)$. Esos gamma se cancelan para que obtengamos lo que queremos:
$$left(fraclambdalambda-tright)^s$$
Su pregunta finalmente se convierte en mostrar lo siguiente:
$$int_0^infty e^txfrac1Gamma(s)lambda^sx^s-1 e^-xlambda dx = left(frac lambdalambda – tright)^s$$$$int_0^infty e^txfrac1Gamma(s)lambda^sx^s-1 e^-xlambda dx = fraclambda ^sGamma(s)int_0^infty x^s-1e^-(lambda-t)x dx$$
A partir de repetidas aplicaciones de integración por partes, se sabe que
$$int_0^infty x^ae^-bx dx = fracGamma(a+1)b^a+1$$
Haciendo esta sustitución obtenemos:
$$fraclambda^sGamma(s)int_0^infty x^s-1e^-(lambda-t)x dx = fraclambda^ sGamma(s)fracGamma(s)(lambda – t)^s = left(fraclambdalambda – tright)^s$ ps
Si tienes algún reparo y forma de beneficiar nuestro crónica eres capaz de escribir un paráfrasis y con placer lo observaremos.