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Solución:
Supongamos ahora que el Lagrangiano $ L $ es una función de $ y (x), y ‘(x) $ y también $ y ” (x) $, es decir, contiene segundas derivadas w / r del parámetro $ x $.
Es sencillo adaptar el procedimiento habitual a este caso: escriba
begin align Y (x, epsilon) = y (x) + epsilon , eta (x) end align
para una función arbitraria $ eta $.
Luego tenemos la integral parametrizada
begin align I ( epsilon) = displaystyle int_a ^ b , dx , L (x, Y (x, epsilon), Y ‘(x, epsilon), Y’ ‘(x, épsilon)) end align
y queremos encontrar $ L $ a $ epsilon = 0 $
así que eso
begin align 0 & = frac dI d epsilon vert _ epsilon = 0 ,, \ & = displaystyle int_a ^ b , dx , left ( frac parcial L parcial Y frac parcial Y parcial epsilon + frac parcial L parcial Y ‘ frac parcial Y’ parcial epsilon + frac parcial L parcial Y ” frac parcial Y ” parcial epsilon derecha) vert _ epsilon = 0 ,, \ & = Displaystyle int_a ^ b , dx , left ( frac parcial L y parcial eta + frac parcial L parcial y ‘ eta’ + frac parcial L y parcial ” eta ” derecha) ,. end align
Necesitamos cambiar los términos en
$ eta ‘$ y $ eta ” $. Una primera integración por partes hará esto:
begin align displaystyle int_a ^ b , dx , frac parcial F parcial y ‘ frac d eta dx & = frac parcial F parcial y ‘ eta (x) Bigl vert_a ^ b- displaystyle int_a ^ b , dx , eta frac d dx left ( frac parcial F parcial y ‘ derecha) ,, \ estilo de visualización int_a ^ b , dx , frac parcial F parcial y’ ‘ frac d eta’ dx & = frac parcial F parcial y ” eta ‘(x) Bigl vert_a ^ b- displaystyle int_a ^ b , dx , eta’ frac d dx left ( frac parcial F parcial y ” derecha) ,. end align
Suponemos ahora que la función $ eta $ es elegido para que $ eta (b) = eta (a) = 0 $ como antes. Además, también debemos asumir que $ eta ‘(b) = eta’ (a) = 0 $, una nueva condición.
De esta manera tenemos
begin align displaystyle int_a ^ b , dx , frac parcial L parcial y ‘ eta’ & = – displaystyle int_a ^ b , dx , eta , frac d dx izquierda ( frac parcial L parcial y ‘ derecha) ,, \ estilo de visualización int_a ^ b , dx , frac parcial L y parcial ” eta ” & = – estilo de visualización int_a ^ b , dx , eta ‘, frac d dx izquierda ( frac parcial L parcial y ” derecha) ,. end align
Todavía tenemos que girar $ eta ‘$ una última vez. Usando la integración por partes nuevamente:
begin align – displaystyle int_a ^ b , dx , eta ‘ frac d dx left ( frac partial F partial y’ ‘ right) = + Displaystyle int_a ^ b , dx , eta , frac d ^ 2 dx ^ 2 left ( frac parcial F parcial y ” right) end alinear
donde la condición de frontera $ eta (b) = eta (a) $ se ha utilizado para eliminar el término límite.
Por lo tanto, juntando todo esto, obtenemos
begin align 0 = frac dI d epsilon Bigl vert _ epsilon = 0 = displaystyle int_a ^ b , dx , eta , left ( frac d ^ 2 dx ^ 2 izquierda ( frac parcial F parcial y ” derecha) – frac d dx izquierda ( frac parcial F parcial y ‘ derecha) + frac parcial F parcial y derecha) ,. end align
Ya que $ eta $ es arbitrario (hasta las condiciones de contorno), encontramos, por lo tanto, la función
$ L $ debe satisfacer la ecuación diferencial
begin align 0 = frac d ^ 2 dx ^ 2 left ( frac parcial L parcial y ” right) – frac d dx left ( frac parcial L parcial y ‘ derecha) + frac parcial L parcial y ,. end align
La generalización a $ L $ que contiene aún más derivadas es obvio: para a la derivada de orden $ k $ obtenemos una señal $ (- 1) ^ k $ como necesitamos $ k $ integraciones por partes. Así, obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange generalizada en la forma
begin align 0 & = sum_ k (- 1) ^ k frac d ^ k dx ^ k left ( frac partial L partial y ^ k right) equiv E (L) ,, \ E & = sum_k (-1) ^ k frac d ^ k dx ^ k frac parcial parcial y ^ k ,. end align
Hay una discusión sobre esto (incluida la forma de definir correctamente un momento conjugado) en lo siguiente:
Riahi, F. “Sobre lagrangianos con derivadas de orden superior”. Revista estadounidense de física 40.3 (1972): 386-390.
y tambien en
Borneas, M. “Sobre una generalización de la función de Lagrange”. Revista estadounidense de física 27.4 (1959): 265-267.
Dado que un usuario no ha convertido su comentario que casi responde a la pregunta en una respuesta, estoy haciendo esta publicación en la wiki de la comunidad en caso de que se elimine el comentario:
Para un lagrangiano que depende de derivadas de primer orden, encontraremos una ecuación de movimiento de segundo orden. Para tal ecuación, necesitamos dos condiciones de contorno, por ejemplo, la posición de la partícula en un momento inicial y final. Esta condición “fija q en los puntos finales”. Para un lagrangiano que depende de derivadas de segundo orden, encontraremos una ecuación de movimiento de cuarto orden, en general. Entonces, necesitaremos cuatro condiciones de contorno, y fijar la velocidad (así como la posición) en el tiempo inicial y final será suficiente.
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Un lagrangiano $ L (q, dot q, ddot q, ldots, q ^ (N), t) $ [that depends on up to $N$th-order time derivatives] tiene una variación infinitesimal de la forma
$$ begin align delta L & ~~~ = ~ sum_ k = 0 ^ N sum_ j = 1 ^ n frac parcial L parcial q ^ j (k) delta q ^ j (k), qquad q ^ j (k) ~: = ~ frac d ^ kq ^ j dt ^ k, cr & ~~~ stackrel (D) = ~ sum_ k = 0 ^ N sum_ j = 1 ^ n left ( frac d P _ (k) j dt + P _ (k -1) j right) delta q ^ j (k) cr & stackrel text Leibniz = ~ P _ (- 1) j ~ delta q ^ j + frac d dt sum_ k = 0 ^ N-1 sum_ j = 1 ^ nP _ (k) j ~ delta q ^ j (k). end align etiqueta A $$
En eq. (A) hemos usado que variaciones infinitesimales $ delta $ y derivados del tiempo $ frac d dt $ conmutar, y hemos definido una secuencia de cantidades
$$ P _ (k) j ~: = ~ sum_ m = k + 1 ^ N left (- frac d dt right) ^ m- (k + 1) frac parcial L parcial q ^ j (m), $$$$ qquad k ~ in ~ – 1,0,1,2, ldots , qquad j ~ in ~ 1, ldots, n . tag B $$
[The tail $P_(N)j$, $P_(N+1)j$, $ldots$ of the sequence (B) vanish identically.] En la secuencia (B), el primer elemento
$$ P _ (- 1) j ~ stackrel (B) : = ~ sum_ m = 0 ^ N left (- frac d dt right) ^ m frac parcial L parcial q ^ j (m), qquad j ~ in ~ 1, ldots, n , etiqueta C $$
es la propia expresión de Euler-Lagrange (EL); y los elementos subsiguientes $ P _ (0) j $, $ P _ (1) j $, $ P _ (2) j $, $ ldots $ son los momentos más altos de Ostrogradsky$ ^ 1 $; que satisfacen una relación de recurrencia
$$ frac d P _ (k) j dt + P _ (k-1) j ~ stackrel (B) = ~ frac parcial L parcial q ^ j (k), $$$$ qquad k ~ in ~ 0,1,2, ldots , qquad j ~ in ~ 1, ldots, n . tag D $$ -
La acción correspondiente $$ S[q]~ = ~ int_ t_i ^ t_f ! dt ~ L (q, dot q, ddot q, ldots, q ^ (N), t) tag E $$
tiene una variación infinitesimal de la forma
$$ delta S ~ = ~ int_ t_i ^ t_f ! dt ~ delta L ~ stackrel (A) = ~ text términos de volumen + text términos de límite, etiqueta F $$
dónde
$$ text términos-masivos ~ = ~ int_ t_i ^ t_f ! dt sum_ j = 1 ^ n P _ (- 1) j ~ delta q ^ j, tag G $$
y
$$ text términos-límite ~ = ~ sum_ k = 0 ^ N-1 sum_ j = 1 ^ n left[P_(k)j~delta q^j(k)
right]_ t = t_i ^ t = t_f. tag H $$ -
Ahora, para deducir las ecuaciones EL$ ^ 2 $$$ P _ (- 1) j ~ stackrel (G) approx ~ 0, qquad j ~ in ~ 1, ldots, n , tag I $$
cuales son $ n $ EDO de $ 2N $En tercer orden, necesitamos que los términos de frontera (H) desaparezcan especificando $ 2Nn $ condiciones de contorno (BC), es decir $ Nn $ condiciones iniciales y $ Nn $ condiciones finales. Hay varias posibilidades:-
BC esenciales: $ q ^ j (k) $ se fijan en el límite, donde $ j en 1, ldots, n $ y $ k en 0, ldots, N ! – ! 1 $.
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BC naturales: $ P _ (k) j $ desaparecer en el límite, donde $ j en 1, ldots, n $ y $ k en 0, ldots, N ! – ! 1 $.
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Alguna combinación de BC esenciales y naturales.
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Hasta ahora solo hemos discutido la formulación lagrangiana superior con un $ N $Lagrangiano de orden th. También hay una formulación hamiltoniana superior con independiente variables de espacio de fase $ q ^ j (k) $ y $ P _ (k) j $, dónde $ j en 1, ldots, n $ y $ k en 0, ldots, N ! – ! 1 $.
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$ ^ 1 $ NB: El etiquetado de las variables de Ostrogradski superiores se desplaza en uno en comparación con la notación de Wikipedia.
$ ^ 2 $ Aquí el $ aprox $ símbolo significa igualdad módulo eqs. de movimiento.