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Solución:
Solución 1:
la respuesta a 2. es No.
Una forma de ver esto es de la Propiedad 6.D.2 de MWG: $F$ SOSD $G$ si y solo si
beginecuación int_0^xF(t)mathrm dt le int_0^xG(t)mathrm dt quadtextpara todo x. endecuación
Dixit llama a las dos integrales superacumulativo funciones de $F$ y $G$, respectivamente. Por lo tanto, una caracterización de SOSD es que el superacumulativo de la distribución dominante siempre se encuentra por debajo del superacumulativo de la distribución dominada. (Esto recuerda la caracterización de FOSD como el CDF de la distribución dominante siempre por debajo de la CDF del dominado.)
Para un contraejemplo, solo necesitamos encontrar distribuciones $F$ y $G$ tal que sus superacumulativos se cruzan. Aquí hay uno:
beginalign f(x)&=begincases 0.1 & xin ,6\ 0.4 & xin2,4\ 0 & textotro lugar endcasos\ g(x)&=begincasos frac13 & xin1,3,5\ 0 & textotro lugar endcasos end alinear
Ambas distribuciones tienen la misma media de $3$, pero como muestra la siguiente figura, sus superacumulativos ($S_F$ y $S_G$) se cruzan en varios puntos, y así ni la distribución SOSD la otra.
Aquí, $S_F(x)=int_0^x F(t)mathrm dt = int_0^xint_0^tf(s)mathrm dsmathrm dt$, y $S_G$ se define de manera similar. Ya que $f$ y $g$ son funciones de masa de probabilidad, las cdf $F$ y $G$ son funciones escalonadas (que se muestran a continuación). La integración de las funciones escalonadas produce la función lineal continua y por partes $S_F$ y $S_G$ sobre.
Editar
Como señaló OP en un comentario, “TODAS las personas adversas al riesgo con utilidad isoelástica ($u=x^alfa$, $alfain(0,1)$) prefieren apostar $G$ para apostar $F$“. La respuesta negativa anterior sugiere que debe haber una función cóncava con la cual $F$ se prefiere a $G$. Aquí hay un ejemplo:
beginecuación u(x)=begincasos 2x& xle 2\ 4& x>2 endcasos endecuación
Esta función es cóncava y $mathbb E_F(u)=3.6>3.overline33=mathbb E_G(u)$.
Solución 2:
La respuesta a 1.
Tu conjetura es correcta. Considere las loterías $A,B$ donde $A$ garantiza un pago de 1 mientras $B$ produce 0 o 4, cada uno con 50% de probabilidad.
$B$ no SOSD $A$, ya que puede encontrar fácilmente un agente lo suficientemente reacio al riesgo como para que prefiera $A$, por ejemplo, un agente cuyas preferencias son descritas por $u(x) = ln(x)$.
$A$ no SOSD $B$ ya sea como $E(B) > E(A)$, es decir, un agente con $u(x) = x$ preferiría $B$.
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