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Solución:
No creo que la demostración sea correcta. Lo siguiente no tiene sentido para mí.
También podemos suponer que $H$ y $Z(G)$ son disjuntos. De lo contrario, si no existiera un subgrupo disjunto de orden $p$, entonces el orden de $G$ sería $p^2$.
Como lo señaló el usuario 10444, normalmente aplica la declaración
Si G/Z(G) es cíclico, entonces $G$ es abeliano.
para excluir el caso $lvert Z(G)rvert = p^2$.
El enunciado no es difícil de mostrar: Sea $gZ(G)$ un generador del grupo cíclico $G/Z(G)$. Entonces $G = langle g\cup Z(G)rangle$. Dado que cada par de generadores de $G$ conmuta, $G$ es abeliano.
Tengo una pregunta que alguien me pueda aclarar por favor. ¿Por qué no se considera la posibilidad de que $|Z(G)|=1$? ¡Gracias!
ACTUALIZAR:
Aquí está mi intento de solución.
Considere $Z(G)$ centro del grupo $G$. Sabemos que $Z(G)leq G$.
Por el teorema de Lagrange $|Z(G)|$ debe dividir $|G|$.
Dado que $|G|=p^3$, las únicas posibilidades son $1, p, p^2, p^3$.
$|Z(G)|neq p^3$ porque de lo contrario tendremos $Z(G)=G$ pero $G$ no es abeliano.
$|Z(G)|neq p^2$ también porque de lo contrario tendremos el orden del grupo de factores por el centro como $|G/Z(G)|=|G|/|Z(G) |= p^3/p^2 = p$.
Tenemos:
$|G/Z(G)|=p implica que G/Z(G)$ es cíclico $implica que G$ es abeliano. Pero $G$ no es abeliano.
Ahora $|Z(G)|neq 1$ también porque $G$ es un $p-grupo$ y los $p-grupos$ tienen un centro no trivial.
(gracias a Tobias Kildetoft por señalar esto).
Por tanto, el único orden posible para $Z(G)$ es $p$.
$QED$
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