Solución:
Primero, recordemos qué significa la multiplicación de una matriz por un escalar: cuando multiplicamos $ ; kA $, donde $ A $ es una matriz $ n veces n $ y $ k $ un escalar, entonces cada entrada $ a_ { ij} $ de la matriz $ A $ se multiplica por $ k $: es decir, $ a_ {ij} mapsto ka_ {ij} $ por cada $ a_ {ij} $. Eso significa que para cada fila $ i, ; 0 leq i leq n, ; $ podemos factorizar $ k $.
Ahora … Recuerde las operaciones de fila elementales que ha aprendido, y cómo cada una de ellas afecta el determinante de la matriz en la que está operando. Específicamente, cuando cualquier uno fila se multiplica por el escalar $ k $, el determinante de $ A $ se convierte en $ ; k det A $. Entonces, dado que la multiplicación escalar de una matriz cuadrada $ n veces n $ es equivalente a “operación de fila” en $ n $ filas (multiplicando cada fila por el escalar $ k $), podemos concluir que $$ large det (kA) = underbrace {k cdot k cdot cdots cdot k} _ { large n ; text {times} } det A = k ^ n det A $$
Supongamos que $ v_1, dots, v_n $ son los vectores columna de la matriz $ A $, entonces podemos pensar en $ det $ en lugar de una función que mapea una matriz a los reales como una función que mapea $ n $ vectores a los reales. De hecho, esta es la forma en que definimos $ det $, ¡es una función multilineal de $ n $ vectores! Ahora, ser multilineal significa que por cada $ i $ con $ 1 leq i leq n $ tenemos:
$$ det (v_1 dots, kv_i, dots, v_n) = k det (v_1, dots, v_i, dots, v_n) $$
$$ det (v_1, dots, u + w, dots, v_n) = det (v_1, dots, u, dots, v_n) + det (v_1, dots, w, dots, v_n ) $$
Simplemente necesitamos usar la primera propiedad. Si $ A = begin {pmatrix} v_1 & cdots & v_n end {pmatrix} $ es su matriz, entonces según la definición habitual de multiplicación escalar para matrices tenemos $ kA = begin {pmatrix} kv_1 & cdots & kv_n end {pmatrix} $. En ese caso, tenemos que:
$$ det (kA) = det (kv_1, dots, kv_n) = k ^ n det (v_1, dots, v_n) = k ^ n det (A) $$
Donde aparece $ k ^ n $ porque por multilinealidad, para cada índice, se extraerá un $ k $ del $ det $. Extrayendo $ n $ multiplicado por $ k $, obtenemos $ k ^ n $ como se desee.
El determinante es una función multilineal, significa que $ det (x_1, ldots, kx_i + y_i, ldots, x_n) = k det (x_1, ldots, x_n) + det (x_1, ldots, y_i, ldots, x_n) $, en el que el i-ésimo componente es el i-ésimo renglón de la matriz. al usar $ y_i = 0 $ se muestra el resultado deseado.