Posterior a consultar con especialistas en la materia, programadores de diversas áreas y profesores hemos dado con la respuesta al problema y la dejamos plasmada en esta publicación.
Solución:
Insinuación Si $lambda$ es un valor propio, entonces
$$lambda^3-lambda^2-lambda+1=0 Rightarrow (lambda-1)^2(lambda+1)=0 Rightarrow lambda=pm 1$$
Que es entonces $D^2$?
Por lo tanto
$$A^2=PD^2P^-1=??$$
Suponer $A$ es un diagonalizable, y escribe $A=PPD^-1$. Entonces la ecuación se convierte en $PD^3P^-1=PD^2P^-1+PDP^-1-I$que cuando multiplicamos por $P^-1$ a la izquierda y $P$ a la derecha, vemos que es equivalente a $D^3=D^2+DI$. Por lo tanto, basta con mostrar el caso de la diagonal.
Dejar $D$ tener entradas diagonales $lambda_i$ ($1leq ileq n$). Entonces para cada $i$ tenemos la ecuacion $lambda_i^3-lambda_i^2-lambda_i+1=0$ (dado que las entradas de las matrices diagonales se multiplican directamente), lo que equivale a $(lambda_i+1)(lambda_i-1)^2=0$. Ahora, encuentra $lambda_i$ para resolver $D$ y por lo tanto $D^-1$. Creo que puedes tomarlo desde aquí.