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Solución:
En un sistema ideal, holonómico y monogénico (el habitual en la mecánica clásica), el hamiltoniano es igual a la energía total cuando y sólo cuando tanto la restricción como el lagrangiano son independientes del tiempo y el potencial generalizado está ausente.
Entonces, la condición para la energía de igualación hamiltoniana es bastante estricta. El ejemplo de Dan es uno en el que Lagrangian depende del tiempo. Un ejemplo más frecuente sería el hamiltoniano para partículas cargadas en un campo electromagnético $$H=fracleft(vecP-qvecAright)^22m+qvarphi$ $ La primera parte es igual a la energía cinética ($vecP$ es un momento canónico, no mecánico), pero la segunda parte NO ES necesariamente energía potencial, ya que en general $varphi$ se puede cambiar arbitrariamente con un indicador.
El hamiltoniano en general no es igual a la energía cuando las coordenadas dependen explícitamente del tiempo. Por ejemplo, podemos tomar el sistema de una cuenta de masa $m$ confinado a un anillo circular de radio $R$. Si definimos la $0$ para el ángulo $theta$ ser el fondo del ring, el Lagrangiano $$L=fracmR^2dottheta^22-mgR(1-cos(theta)).$$ El impulso conjugado $$p_theta=fracparcial Lparcial dotq=mR^2dottheta.$$ y el hamiltoniano $$H=fracp_theta^22mR^2+mgR(1-costheta), $$ que es igual a la energía.
Sin embargosi definimos el $0$ para que theta se mueva alrededor del anillo con una velocidad angular $omega$entonces el lagrangiano $$L=fracmR^2(dottheta-omega)^22-mgR(1-cos(theta-omega t)). $$
El impulso conjugado $$p_theta=fracparcial Lparcial dotq=mR^2dottheta-mR^2 omega.$$
y el hamiltoniano $$H=fracp_theta^22mR^2+p_thetaomega+mgR(1-cos(theta-omega t)), $$ cual es no igual a la energía (en términos de $puntotheta$ Tiene una dependencia explícita de $omega$).
Mecánica clásica de Goldstein (2ª ed.) pág. 349, sección 8.2 sobre coordenadas cíclicas y teoremas de conservación’ tiene una buena discusión sobre esto. En sus palabras:
The identification of H as a constant of the motion and as the total energy
are two separate matters. The conditions sufficient for one are not
enough for the other.
Luego pasa a proporcionar un ejemplo de un sistema 1-d en el que elige dos sistemas de coordenadas generalizadas diferentes. Para la primera opción, H es la energía total mientras que para la segunda opción H termina siendo solo una cantidad conservada y NO la energía total del sistema.
Échale un vistazo. Es un muy buen ejemplo.
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