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Solución:
$2cdot 3^3cdot 5=270$.
De 1,3,5,$3^3=27$, y $3^2=9$, obtenemos todos los dígitos impares, y multiplicando por dos, obtenemos todos los pares. Podemos ver que todos los factores primos aquí son necesarios, y por la minimalidad de los factores primos en cuestión, no podemos obtener uno más pequeño.
Primero vemos que tal $N$ debe ser un múltiplo de $2$ ya que, de lo contrario, los dígitos de las unidades de los divisores nunca serían pares. También vemos que $N$ debe ser un múltiplo de $5$ ya que cualquier número que tenga un dígito de unidades de $5$ debe ser un múltiplo de $5$. Por lo tanto, $N$ es un múltiplo de $10$ y podemos escribir $$N = 2 cdot 5k$$ para algún entero positivo $k$. Ahora tomamos dos casos:
Caja $1$: $3 mid N$
En este caso probamos que el mínimo $N = 2 cdot 3^3 cdot 5$. Si se reduce el exponente de $3$, entonces el nuevo primo $7$ debe agregarse a la descomposición en factores primos de $N$ y, por lo tanto, $3^2 nmid N$; de lo contrario, $N$ sería mayor. Pero luego tenemos el mínimo de $N$ que es $2 cdot 3 cdot 5 cdot 7$, que no tiene un divisor con un dígito de unidades de $9$. Por lo tanto, el exponente de $3$ no se puede reducir, por lo que $N$ es mínimo en este caso.
Caja $2$: $3 nmid N$
En este caso probamos que $N > 2 cdot 3^3 cdot 5$. Debemos agregar un nuevo primo mayor o igual a $7$ en la descomposición en factores primos de $2 cdot 5$. También debemos sumar al menos otro primo ya que de lo contrario tendremos exactamente $8$ divisores y no puede ser $2$ ya que no podemos obtener un dígito de unidades de $8$. Así tenemos $N geq 2 cdot 5^2 cdot 7$, lo que significa que $N > 2 cdot 3^3 cdot 5$ ya que $7 cdot 5 > 3^3$.
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