Hacemos una revisión completa cada escritos en nuestra página web con el objetivo de enseñarte siempre la información con la mayor veracidad y actualizada.
Solución:
Este es un lugar donde los físicos y los matemáticos formularían la pregunta de manera diferente. Un matemático diría que $d theta/dx$ no está definido en $0$ y que $delta$ no es una función. Sin embargo, como dice Mariano, la afirmación es true “en el sentido de distribuciones”.
¿Qué significa eso? Una distribución es un dispositivo que toma como entrada una función suave $g(x)$, que es cero para $|x|$ suficientemente grande y devuelve un número real. Cuando pensamos en una función ordinaria como una distribución, eso nos hace pensar en $f$ como correspondiente al dispositivo $F: g mapsto int f(x) g(x) dx$. Observe que al cambiar $f$ en un número finito de puntos, $F$ permanece inalterado. Desde un punto de vista físico, si $f$ es algo así como el valor de un campo eléctrico en un punto, nunca sabríamos si tiene una discontinuidad finita en algún punto, por lo que el dispositivo $F$ captura todo lo que es físicamente medible. sobre $f$.
Ahora bien, ¿cómo podemos ver la diferenciación en términos de distribuciones? Por integración por partes, tenemos $int f'(x) g(x) dx = – int f(x) g'(x)$. Entonces, para cualquier distribución $F$, definimos la derivada de $F$ como el gadget $g mapsto -F(g’)$.
Ahora, que $F$ corresponda a $theta$, entonces $F(g) = int_- infty^0 g(x) dx$. La distribución delta de Dirac es $delta(g) = g(0)$. Te dejo a ti demostrar que $F'(g) = delta(g)$, con las definiciones anteriores.
Tendría curiosidad por ver cómo un físico respondería a esta pregunta. Sospecho que he actuado como un francés.
Por definición, $delta(x)$ satisface $$int_-infty^infty f(x)delta(x) dx=f(0)$$ para cualquier función continua $f$ en $ matemáticasbbR$.
Por definición de derivada en la teoría de la distribución, $$ int_-infty^infty f(x)theta'(x) dx=-int_-infty^infty f'(x) theta (x) dx$$ para cualquier función $C^1$ $f(x)$ que desaparece fuera de un intervalo acotado.
Ahora $$-int_-infty^infty f'(x) theta(x) dx=-int_0^infty f'(x) dx= -f(infty)+f(0) =f(0)=int_-infty^infty f(x)delta(x) dx.$$
Entonces $theta'(x)=delta(x)$.
Me gustaría agregar una respuesta que intentará justificar la declaración con un ejemplo. Considere la secuencia de funciones $$ f_n = left{beginalign 0 &text if |x|>1/n \ n^2x^2/2 + nx + 1/2 & textosi -1/nleq x leq 0\ -n^2x^2/2 + nx + 1/2 &textsi 0
Estas funciones son diferenciables en todas partes, y se aproximan cada vez mejor a la función escalón unitario a medida que $n$ crece. Si observamos las derivadas de estas funciones, veremos que son una sucesión de funciones de la tienda que son cada vez más estrechos y altos, como Griffith utiliza para introducir la función delta.
En realidad, con un modo de convergencia apropiado, cuando una secuencia de funciones derivables convergen al escalón unitario, se puede demostrar que sus derivadas convergen a la función delta. Por eso, se puede tomar la derivada de la función escalón unitario como definido como el límite de las derivadas, que es la función delta.
Sección de Reseñas y Valoraciones
Si conservas algún inconveniente y forma de ascender nuestro tutorial puedes añadir un informe y con gusto lo ojearemos.