Luego de de esta extensa recopilación de información pudimos solucionar esta duda que presentan algunos los usuarios. Te compartimos la solución y deseamos serte de gran ayuda.
Solución:
Una ruta corta, que evita diagonalizaciones innecesarias, es calcular cada exponencial de $A$, es decir, buscar funciones $x$ y $y$ tales que, para cada $t$, $$e^tA= x(t)A+y(t)I$$ Entonces, $mathrmtr(A)=-3$ y $det(A)=2$ por lo tanto $$A^2=-3A-2I$ $ Esto implica $$x'(t)A+y'(t)I=(e^tA)’=Ae^tA=A(x(t)A+y(t)I)=x (t)(-3A-2I)+y(t)A$$ es decir, $$x'(t)A+y'(t)I=(y(t)-3x(t))A-2x (t)I$$ o, de manera equivalente, $$x'(t)=y(t)-3x(t)quad y'(t)=-2x(t)$$ Esto implica que $$x” (t)+3x'(t)+2x(t)=0$$ Las raíces del polinomio $t^2+3t+2=(t+2)(t+1)$ son $-1$ y $ -2$ por lo tanto $$x(t)=ue^-t+ve^-2t$$ para algunas constantes dadas $(u,v)$, lo que implica $$y(t)=x'( t)+3x(t)=2ue^-t+ve^-2t$$ Las condiciones iniciales $x(0)=0$ y $y(0)=1$, cuando se aplican a estas fórmulas para $x(0)$ y $y(0)$, producen $u=1$ y $v=-1$, por lo tanto, para cada $t$, $$e^tA=(e^-t -e^-2t)A+(2e^-t-e^-2t)I$$ es decir, $$e^tA=beginpmatrix-e^-t +2e^-2t & 2e^-t-2e^-2t\-e^-t+e^-2t&2e^-t-e^-2t endpmatrix$$ del cual el valor de la matriz $e^3A$ sigue.
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