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Solución:
Tenemos eso$ M _ beta ‘ ^ beta ( text id) = (M_S ^ beta’ ( text id)) ^ – 1 M_S ^ beta ( text id) $.
Pero $ M_S ^ beta ( text id) = begin pmatrix 1 & -1 & 0 \ 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 end pmatrix $ y $ M_S ^ beta ‘ ( text id) = begin pmatrix 2 & 0 & -1 \ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 1 end pmatrix $.
Dejaré que usted calcule el inverso y lo multiplique.
yo obtengo
$ M _ beta ‘ ^ beta ( text id) = begin pmatrix frac23 & 0 & frac13 \ – 1 & 0 & 1 \ frac13 & 1 & frac23 end pmatrix $.
Mi solución para casi todo el álgebra lineal es escribir todo como un grupo de productos matriciales (-vectores). Probemos eso.
Las coordenadas de algún vector $ mathbf u $ con respecto a alguna base $ beta $ es un vector de columna $ mathbf v $ tal que $ mathbf M _ beta mathbf v = mathbf u $. Asimismo las coordenadas con respecto a alguna otra base $ beta ‘$ es un vector $ mathbf w $ tal que $ mathbf M _ beta ‘ mathbf w = mathbf u $.
Por lo tanto $ mathbf M _ beta ‘ mathbf w = mathbf u = mathbf M _ beta mathbf v $ y por lo tanto $ mathbf w = ( mathbf M _ beta ‘ ^ – 1 mathbf M _ beta) mathbf v $. Evidentemente la matriz $ mathbf M _ beta ‘ ^ – 1 mathbf M _ beta $ mapas $ beta $-coordina en $ beta ‘$-coordenadas, por lo que calcularía eso.
Si no me equivoco, la conversión de base de un mapeo lineal significa multiplicar la matriz de conversión de base y la matriz de mapeo lineal. Presumiblemente, el mapeo de identidad particular es el de $ mathbb R ^ 3 $, representada por la matriz de identidad de 3 por 3.
Me resulta difícil descifrar tu notación, pero parece que estás cometiendo algunos errores fundamentales.
Es útil pensar en la notación $ M _ beta ‘ ^ beta $ como especificar las bases de “entrada” y “salida” de la matriz $ M $: come tuplas de coordenadas expresadas en relación con la base ordenada $ beta $ y escupe tuplas de coordenadas expresadas en relación con la base ordenada $ beta ‘$. En particular, aplicarlo a tuplas de coordenadas expresadas en alguna otra base no tiene sentido, al igual que interpretar su salida en términos de alguna base distinta a $ beta ‘$.
Ahora, dado $ beta = (v_1, v_2, v_3) $, entonces ciertamente es true eso si $ X_ beta (v) = (x_1, x_2, x_3) ^ T $, luego $ v = x_1v_1 + x_2v_2 + x_3v_3 $, pero esa es solo la definición de las coordenadas de $ v $ relativo a $ beta $. Sin embargo, en principio no tiene sentido multiplicar esta suma por la matriz $ A = M _ beta ‘ ^ beta ( operatorname id) $: $ v $ puede que ni siquiera sea un elemento de $ mathbb R ^ 3 $ en primer lugar. En este ejercicio lo es, lo que creo que contribuye a su confusión. Aunque $ v in mathbb R ^ 3 $, todavía no tiene sentido multiplicarlo por $ A $ porque estás representando los elementos de $ beta $ como vectores de coordenadas relativo a la base estándar$ mathcal E $ (o al menos alguna otra base, no especificada). Usando la notación de Lang, esa suma te da $ X _ mathcal E (v) $, pero el producto $$ M _ beta ‘ ^ beta ( operatorname id) X _ mathcal E (v) $$ no tiene sentido porque las bases no coinciden.
El siguiente problema es que las mismas coordenadas $ (x_1, x_2, x_3) ^ T $ aparecen en ambos lados de la ecuación que ha formado. Eso equivale a decir que $ X _ beta ‘ (v) = X _ beta (v) $, es decir, que las coordenadas de un vector arbitrario $ v $ son iguales en ambas bases. Eso es bastante obvio false si $ beta ‘ ne beta $. El lado izquierdo debe usar el $ beta ‘$-coordenadas de $ v $, que son otros tres valores $ (x_1 ‘, x_2’, x_3 ‘) ^ T $. La cantidad de incógnitas está proliferando rápidamente.
Volviendo a la definición de $ M _ beta ‘ ^ beta $, lo que queremos aquí es una matriz $ A $ tal que $$ X _ beta ‘ (v_i) = AX _ beta (v_i) $$ para cada elemento $ v_i $ de $ beta $. Sin embargo, $ X _ beta (v_i) = e_i $ y $ Ae_i = A_i $, a partir del cual $ A_i = X _ beta ‘ (v_i) $, es decir, las columnas de $ A $ son los elementos de $ beta $ expresado en relación con la base $ beta ‘= (w_1, w_2, w_3) $. Para cada columna, entonces, tienes un sistema de ecuaciones lineales. Las nueve ecuaciones se pueden expresar como la ecuación matricial $$ pmatrix X _ mathcal E (w_1) & X _ mathcal E (w_2) & X _ mathcal E (w_3) A = pmatrix X _ mathcal E (v_1) & X _ mathcal E (v_2) & X _ mathcal E (v_3), $$ por lo tanto $$ A = pmatrix X _ mathcal E (w_1) & X _ mathcal E (w_2) & X _ mathcal E (w_3) ^ – 1 pmatrix X _ mathcal E ( v_1) & X _ mathcal E (v_2) & X _ mathcal E (v_3). $$ Sin embargo, observe que la primera matriz de este producto es $ M _ beta ‘ ^ mathcal E ( operatorname id) $ y el segundo es $ M _ mathcal E ^ beta ( operatorname id) $, por lo que tenemos la identidad útil $$ M _ beta ‘ ^ beta ( operatorname id) = M _ beta’ ^ mathcal E ( operatorname id) M _ mathcal E ^ beta ( operatorname id) = M _ mathcal E ^ beta ‘ ( operatorname id) ^ – 1 M _ mathcal E ^ beta ( operatorname id). $$ Formalmente, la parte superior e inferior $ mathcal E $está en el producto “cancelar”.
Una forma bastante conveniente de calcular este producto a mano es formar la matriz aumentada $$ left ( begin array c M _ mathcal E ^ beta ‘ ( operatorname id) & M _ mathcal E ^ beta ( operatorname id) end array right) = left ( begin array ccc X _ mathcal E (w_1) & X _ mathcal E (w_2) & X _ mathcal E (w_3) & X _ mathcal E (v_1) & X _ mathcal E (v_2 ) & X _ mathcal E (v_3) end array derecha) $$ y aplicarle la eliminación gaussiana para obtener $$ left ( begin array c I_3 & M _ mathcal E ^ beta ‘ ( operatorname id) ^ – 1 M _ mathcal E ^ beta ( operatorname id) finarray derecha). $$
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