Solución:
Necesitas trabajar con esto:
La traza de una matriz es la suma de los valores propios y el determinante es el producto.
No es difcil ver que los valores propios de $ BC $ están $ 2,3,0 $. Dejar $ v_1, v_2 $ ser los autovectores corresponden a $ 2,3 $ (verá por qué no podemos usar el vector propio para $ 0 $ pronto).
Considere la matriz $ CB $ y mira los vectores $ Cv_1, Cv_2 $. Luego $$ CB (Cv_i) = C (BCv_i) = lambda_i Cv_i $$ por lo tanto desde $ Cv_i not = 0 $ (de lo contrario $ BCv_i = 0 $) tenemos eso $ 2,3 $ son valores propios de $ CB $ lo que significa que el determinante es $ 6 $ y el rastro es $ 5 $.
Me acabo de encontrar con esta vieja pregunta y publicaré mi solución más simple.
Del teorema de Cayley-Hamilton para $ CB $ tenemos eso:
$ (CB) ^ 2- operatorname {Tr} (CB) cdot CB + det (CB) cdot I_2 = O_2 $
Ahora a la izquierda multiplica por $ B $ y luego multiplicar a la derecha por $ C $ esta relación y consigue eso
$ (BC) ^ 3- operatorname {Tr} (CB) cdot (BC) ^ 2 + det (CB) cdot BC = O_3 $.
Ahora simplemente sustituye $ BC $los poderes en esta ecuación para conseguir que $ operatorname {Tr} (CB) = 5 $ y $ det (CB) = 6 $.