Solución:
Compruebe que obtiene $ A = PBP ^ {- 1} $ con $ B $ una matriz diagonal con entradas $ -2 $ y $ 5 $, y $ P $ una matriz invertible. Luego tenga en cuenta que $ A ^ 2 = (PBP ^ {- 1}) (PBP ^ {- 1}) = PB ^ 2P ^ {- 1} $, y en general obtiene $$ A ^ n = PB ^ nP ^ {-1} $$
El lado derecho es fácil de manejar ya que el poder de una matriz diagonal es muy fácil de ver 🙂
Debería diagonalizar si es posible.
Esto significa encontrar los autovalores y autovectores.
- Los valores propios son raíces del polinomio característico de $ A $, que es $$ det pmatrix {1-x & 4 \ 3 & 2-x} = (1-x) (2-x) -12 = x ^ 2-3x -10 ,. $$
- Si encuentra sus raíces (que juntas suman $ 3 $ y se multiplican por $ -10 $), encuentre un vector propio para ambos ($ v_1 $ y $ v_2 $), [e.g. $v_2:=pmatrix{1\1}$ will be an eigenvector].
- Luego construya la matriz $ P $ con columnas $ (v_1 | v_2) $, y calcule su inverso.
- Finalmente, $ D: = P ^ {- 1} AP $ será la diagonal que contiene los valores propios, porque $$ AP = A , (v_1 | v_2) = ( lambda_1 v_1 , | , lambda_2 v_2) = P , pmatrix { lambda_1 & 0 \ 0 & lambda_2} $$
Y después de todo esto, puede aumentar fácilmente $ A $ a cualquier potencia: $$ A ^ {1000} = PD ^ {1000} P ^ {- 1} ,. $$
La estrategia conocida es la diagonalización ya que esta matriz es diagonalizable. Para variar, aquí hay un enfoque ligeramente diferente que es conveniente para matrices pequeñas. Si tiene tiempo, intente realizar ambos métodos hasta el final sin ayuda de la computadora. Esto es bastante equivalente. Aunque tiene dos sistemas lineales para resolver los autovectores, y solo uno aquí para las constantes $ c, d $ a continuación.
Calcularemos $ A ^ n $.
Sea $ p_A (X) = X ^ 2-3X-10 $ el polinomio característico de la matriz $ A $. Por Cayley-Hamilton, $ p_A (A) = 0 $. Por lo tanto, es suficiente determinar el grado $ leq 1 $ remanente en la división euclidiana de $ X ^ {n} $ por $ p_A (X) $ para calcular $ A ^ {n} $.
Por cada $ n geq 1 $, denote
$$ X ^ n = q_n (X) p_A (X) + a_nX + b_n $$
la división euclidiana de $ X ^ n $ por $ p_A (X) $. Dado que $ X ^ 2 equiv 3X + 10 $ módulo $ p_A (X) $, la multiplicación de este último por $ X $ produce $$ cases {a_ {n = 1} = 3a_n + b_n \ b_ {n + 1 } = 10a_n} iff cases {a_ {n + 1} = 3a_n + 10a_ {n-1} \ b_ {n + 1} = 10a_n} $$ Resolver para $ a_n $ es sencillo dada la teoría de lineal recurrente secuencias homogéneas. Dado que las raíces de la ecuación característica (que es, por supuesto, $ p_A (X) = 0 $) son $ -2 $ y $ 5 $, tenemos $ a_n = c (-2) ^ n + d 5 ^ n $. Considerando los casos iniciales $ n = 0,1 $, encontramos $ c $ y $ d $ de donde
$$ a_n = frac {5 ^ n – (- 2) ^ {n}} {7} quad mbox {de dónde} quad b_n = frac {2 cdot 5 ^ {n} +5 (-2 ) ^ {n}} {7} $$
Por lo tanto $$ A ^ n = q_n (A) p_A (A) + a_nA + b_nI_2 = a_nA + b_nI_2 = pmatrix {a_n + b_n & 4a_n \ 3a_n & 2a_n + b_n} $$ por lo tanto $ A ^ n $ es igual a
$$ A ^ n = pmatrix { frac {3 cdot 5 ^ {n} + (-2) ^ {n + 2}} {7} & frac {4 cdot 5 ^ {n} – (- 2) ^ {n + 2}} {7} \ frac {3 cdot 5 ^ {n} -3 cdot (-2) ^ {n}} {7} & frac {4 cdot 5 ^ {n} +3 cdot (-2) ^ {n}} {7}} $$