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Análisis intuitivo de gradiente, divergencia, rotacional

El tutorial o código que verás en este post es la solución más eficiente y efectiva que hallamos a tus dudas o problema.

Solución:

Dado que su pregunta es cómo obtener una comprensión intuitiva de lo que significan las dos ecuaciones $nabla cdot nabla mathbfF = 0$ y $nabla times nabla f=mathbf0$, lo haré discutir las ecuaciones en un entorno simple. La configuración más simple e intuitiva en la que estoy pensando es una configuración discreta: la red de panal, que se muestra a continuación.

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Permítanme explicar cómo funciona el cálculo vectorial en esta red. Una función escalar toma valores en los vértices discretos de la red.

Un campo vectorial toma valores en los bordes de la red. Esto tiene sentido porque los vectores deberían representar el movimiento de un punto a otro.

El gradiente de una función $f$ tiene, en cada borde, una magnitud igual a la diferencia entre $f$ en los dos extremos del borde, y la dirección del gradiente, por supuesto, es del valor más bajo al más alto. valor.

Ahora, cuando toma el rizo, obtiene una función definida en cada cara (es decir, hexágono) de la red. Esto tiene sentido porque se supone que el rizo te dice cómo gira el campo vectorial en un "círculo". En este caso, el "círculo" es realmente un hexágono. Veamos un ejemplo de tomar el rotacional de un campo vectorial.

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En la figura anterior, los valores del campo vectorial $mathbfF$ se muestran en rojo. Aquí he tomado la dirección en sentido contrario a las agujas del reloj como positiva, por lo que un valor negativo significa que el vector en realidad apunta en la dirección de las agujas del reloj. El rizo se puede encontrar sumando los valores a medida que se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj a lo largo del hexágono. Entonces, el valor del rizo en el hexágono que se muestra en la figura es $4$.

Ahora veamos por qué el rizo del gradiente tiene que ser cero.

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Arriba, he mostrado los valores de la función en negro en cada vértice. El degradado se muestra en rojo en cada borde como en la imagen anterior. Encontramos en este caso que el rotacional es cero. La razón es simple. Cuando tomas el rizo en este caso, estás sumando las diferencias en los valores de la función a medida que te mueves alrededor del hexágono. Pero como terminas donde empezaste, la suma de los cambios debe ser cero.

Ahora pensemos por qué la divergencia del rotacional debe ser cero. Para tomar la divergencia, debemos pasar a tres dimensiones. Así que pensemos en la forma del balón de fútbol que se muestra a continuación.

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Como antes, las funciones se definen en los vértices, los vectores se definen en los bordes, el rotacional se define en las caras. Lo nuevo es que la divergencia se define sobre el volumen encerrado por el balón de fútbol.

Para ver por qué la divergencia del rotacional es cero, veamos lo que sucede en los dos hexágonos más cercanos a nosotros.

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En este caso, tenemos un campo vectorial $mathbfF$, que puede tomar valores arbitrarios en los bordes. He elegido valores aleatorios por el bien de la ilustración. Una vez más, el rizo definido en cada hexágono es la suma de $mathbfF$ a medida que avanza alrededor del hexágono en sentido contrario a las agujas del reloj. La dirección en sentido contrario a las agujas del reloj es importante aquí. Observe el borde donde $mathbfF=4$ (el que se muestra en un recuadro) se incluye en el cálculo del rotacional en ambos hexágonos. En el hexágono inferior, tiene un signo positivo, ya que este $mathbfF$ apunta en sentido contrario a las agujas del reloj a medida que recorre el hexágono inferior. Sin embargo, tiene signo negativo en el hexágono superior, ya que allí este $mathbfF$ apunta en el sentido de las agujas del reloj. Ahora, dado que la divergencia es la suma de los valores de todas las caras, y la contribución de la arista a la cara inferior es opuesta a la contribución a la cara superior, vemos que esta arista tiene una contribución cero a la divergencia. Pero cada borde del balón de fútbol se encuentra en dos caras, por lo que cada borde contribuye cero a la divergencia y, por lo tanto, la divergencia debe ser cero.

Ahora probablemente debería decir algunas palabras sobre cómo se relaciona esto con la situación del espacio euclidiano normal. La situación es realmente muy análoga. Puede medir el rotacional de un campo vectorial tomando su integral de línea alrededor de pequeños círculos. Sin embargo, en el caso de un gradiente, la integral de línea te dice el cambio total en la función a medida que recorres el círculo. Como terminas donde empiezas, el cambio total debe ser cero. Dado que todas estas integrales deben ser cero para el gradiente, el rotacional de un gradiente debe ser cero.

La divergencia se puede medir integrando el campo que atraviesa una pequeña esfera. Si tiene un vector distinto de cero en la superficie, tenderá a crear un rizo que apunta hacia afuera a su izquierda, pero un rizo que apunta hacia adentro a su derecha. Estas dos contribuciones a la divergencia se cancelan, por lo que termina con una divergencia cero.

Comencemos con $$mathrmdiv left[mathrmcurl mathbfA(mathbfx)right]=0$$

Considere el campo electrostático, tiene fuentes para emerger (cargas positivas) y sumideros para entrar (cargas negativas). Tal campo tiene una divergencia distinta de cero.

Cuando decimos que la divergencia de $ mathrmcurl mathbfA(mathbfx)$ es igual a cero, esto significa que el rotacional no tiene fuentes ni sumideros, su flujo total sale de una superficie cerrada siempre es cero y por lo general es un campo uniforme o forma vórtices cerrados (como el campo magnético). En general, cualquier campo vectorial con divergencia cero tiene que ser un rotacional de algún otro campo.

La segunda ecuación: $$mathrmcurlleft[ mathrmgrad , u(mathbfx)right]= boldsymbol0$$ no tiene mucho de qué deducir. Un campo con rotacional cero se llama irrotacional. En una región simplemente conectada, dicho campo es conservativo (independencia del camino y sin vórtices), pero ya sabemos esto para un gradiente.

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