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¿El rotacional cero implica un campo conservativo?

Este grupo de trabajo ha pasado mucho tiempo buscando para dar respuesta a tu interrogante, te ofrecemos la solución y esperamos servirte de gran apoyo.

Solución:

Cualquier campo vectorial conservativo $F :U to mathbbR^3$ es irrotacional, es decir, $mathbfcurl (F)=0$, pero lo contrario es true solo si el dominio $U$ está simplemente conectado (ver aquí un ejemplo clásico).

No necesariamente. Mire el siguiente $A%$ potencial definido en alguna región:

El campo vectorial asociado $F=mathrmgrad(A)$ se ve así:

Como es un degradado, tiene $mathrmcurl(F)=0$. Pero podemos completarlo en el siguiente campo vectorial sin curvaturas:

Este campo vectorial no tiene rotaciones, pero no es conservativo porque dar una vuelta alrededor del centro (con una integral) no da cero.

Esto sucede porque la región en la que se define $F$ no es simplemente conectado (es decir, tiene un agujero). Si solo está interesado en los campos vectoriales en todo $Bbb R^3$, entonces está seguro: $Bbb R^3$ es simplemente conexo y cada campo vectorial libre de rotaciones es conservador.

Debes tener en cuenta que un campo vectorial no es solo un conjunto de funciones, sino también un dominio. Por ejemplo, el campo vectorial $mathbfF = left<-fracyx^2+y^2,fracxx^2+y^2right>$ en el conjunto $U = left(x,y) neq (0,0)right$ tiene un rotacional de cero. Pero no es conservador, porque integrarlo alrededor del círculo unitario da como resultado $2pi$, no cero como predice la independencia de la ruta.

Por otro lado, el mismo campo vectorial restringido a $U' = leftx>0right$ es conservativo. Una función potencial es $f(x,y) = arctanleft(fracyxright)$.

La diferencia es que $U'$ simplemente está conectado, mientras que $U$ no lo está. De hecho, esta es una versión simbólica del ejemplo gráfico de M. Winter.

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