Nuestros investigadores estrellas agotaron sus depósitos de café, por su búsqueda todo el tiempo por la solución, hasta que Aurora halló el hallazgo en GitHub por lo tanto ahora la comparte aquí.
Solución:
Fórmula para T(n): $$T(n)=fracn(n+1)(n+2)6$$ Prueba: podemos demostrarlo de forma inductiva.
Caso base:$$T(1)=frac1*2*36=1$$ Sea n=k. Tenemos $T(n+1)=T(n)+t(n+1).$
Por lo tanto $$T(k+1)=T(k)+t(k+1)=frack(k+1)(k+2)6+frac(k+1)( k+2)2=frack(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)6=frac(k+1)(k +2)(k+3)6$$
QED
El número triangular $nth$ es la suma de $n$ números naturales consecutivos desde el principio, que es simplemente $n(n+1)/2$. Quiere la suma de los primeros $n$ números triangulares. Solo toma la suma $Sigma_i=1^n fraci(i+1)2$.
Como el $k$-ésimo número triangular es $T(k)=frack(k+1)2$, tu suma es $$ sum_k=1^nfrack (k+1)2=frac12biggl( sum_k=1^nk^2+sum_k=1^nkbiggr) $$ La segunda suma es $T(n)$, la primera suma es $$ frac13nleft(n+frac12right)(n+1) $$ (una buena manera de memorícelo), lo encontrará en varios lugares (el libro “Concrete Mathematics” de Graham, Knuth y Patashnik presenta varias derivaciones de la fórmula).
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