Posteriormente a observar en diferentes repositorios y foros de internet al terminar descubrimos la respuesta que te compartimos más adelante.
Solución:
La forma más fácil de responder a esto, creo, es con un ejemplo. Sea $R=mathbbZ$, y consideremos el $I=(6)$ ideal. Este es el conjunto de todos los enteros que son múltiplos de $6$. Puedes ver que es un ideal porque si tomas cualquier múltiplo de $6$ y lo multiplicas por cualquier otro número entero, el resultado sigue siendo un múltiplo de $6$. Entonces $I$ se cierra bajo la multiplicación por cualquier elemento del anillo.
Pero $I=(6)$ es no un ideal primo. Puedes ver esto porque $2 notin (6)$ y $3 notin (6)$, pero $2 cdot 3 in (6)$.
Por otro lado, los ideales $(3)$ es primo: si multiplicas dos números y el resultado es un múltiplo de $3$, entonces al menos uno de los dos números con los que comenzaste también debe ser un múltiplo de $3$.
Si reflexiona sobre este ejemplo, también comprenderá por qué se usa la palabra “principal” para esta propiedad.
Si la pregunta es “¿Qué tiene de especial?”, que podría interpretar como “¿Por qué importa el concepto?”, Podría mencionar que el anillo cociente de un anillo conmutativo con unidad por un ideal primo es un dominio integral .
Sin embargo, más adelante parece que quizás lo que quiso decir es que está tratando de entender lo que dice la definición.
El conjunto de todos los múltiplos de $10$ es un ideal en $mathbb Z$. Eso significa que si $a$ es un múltiplo de $10$ y $binmathbb Z$, entonces $ab$ es un múltiplo de $10$.
Pero ese ideal no es un ideal primo: $2$ y $5$ no están en ese ideal pero $2times5$ sí lo está. La definición nos dice que si fuera un ideal primo, entonces si $2times 5$ está en el ideal, entonces $2$ o $5$ están en el ideal. Eso significa que si $2times5$ es un múltiplo de $10$, entonces $2$ o $5$ son un múltiplo de $10$. pero eso no es truepor lo que este ideal no es primo.
Me parece que estás confundido acerca de los cuantificadores.
$a,b$ son siempre elementos de $R$, aunque la definición ideal prima no especifica que uno tiene que estar en $J$
La definición de “ideal” no dice nada en el sentido de que $a$ o $b$ “tienen que estar” en $J$. Dice que si uno de ellos está en $J$, entonces su producto tiene que estar en $J$. La definición de “ideal principal” también incluye eso, ya que dice que es un ideal.
Una declaración dice que si una de dos cosas está en $J$, después también lo es su producto.
El otro dice que si su producto está en $J$, después así es uno de ellos.
Hay una gran diferencia entre “Si P entonces Q” y “Si Q entonces P”.
Ahora considere el conjunto de todos los múltiplos de $11$. Ese también es un ideal, ya que si solo uno de $a,b$ es un múltiplo de $11$, entonces también lo es $ab$. Pero esta vez no puedes encontrar dos números $a,b$ que sean no múltiplos de $11$ pero para los cuales $ab$ es un múltiplo de $11$. Con $10$ pudimos hacer eso simplemente factorizando $10$ como $2times5$, y pudimos hacerlo porque $10$ es no primo. El conjunto de todos los múltiplos de un número primo es un ideal primo en $mathbb Z$; el conjunto de todos los múltiplos de un número compuesto (como $10$) no lo es. Es fácil ver por qué el último tipo no es un ideal principal, tal como lo hicimos anteriormente. La otra afirmación, que si un número es prime, entonces divide un producto $ab$ solo si divide a $a$ o $b$, es un poco más de trabajo para probar, y se llama lema de Euclides.
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