Solución:
Dada una función $ f $, polinomios $ p_1 $ y $ p_2 $, y algo $ x_0 $, podemos definir “mejor” en el sentido de que hay un barrio en el que es una mejor aproximación. Es decir, si existe $ epsilon $ tal que $ (| x-x_0 | < epsilon) flecha derecha (| p_1 (x) -f (x) | <| p_2 (x) -f (x) |) $, luego cerca $ x_0 $, $ p_1 $ es una mejor aproximación a $ f $ que $ p_2 $ es.
Entonces, con esta definición, se puede decir que los polinomios de Taylor son mejores que cualquier otro polinomio con el mismo orden. Es decir, si $ f $ es analítico y $ T_n $ es el $ n $polinomio de Taylor de orden de $ f $, entonces para todos $ n $polinomios de tercer orden $ g $, existe un barrio alrededor $ x_0 $ tal que $ T_n $ es mejor que $ g $.
Creo que, en el ámbito de la aproximación de funciones, tenemos que distinguir dos casos
- alrededor de un punto
- sobre un rango
En el caso de $ sin (x) $, si tenemos en cuenta que es una función extraña, seguro que alrededor $ x = 0 $ solo se usarán términos impares y la mejor aproximación cuadrática será algo como $ kx $ y si queremos calcular la pendiente en $ x = 0 $, tendremos $ k = 1 $.
Ahora, olvídate de las propiedades de $ sin (x) $ y di que quieres la mejor aproximación cuadrática entre $ x = 0 $ y $ x = frac pi 6 $. Entonces, considera la norma
$$ Phi = int_0 ^ { frac pi 6} Grande[a+b x+c x^2-sin(x)big]^ 2 , dx $$ Saltaré los cálculos intermedios y el mínimo de $ Phi $ se obtendrá para
$$ a = – frac {9 left (1440-720 sqrt {3} -48 pi -6 pi ^ 2 + sqrt {3} pi ^ 2 right)} { pi ^ 3} aprox -0.00116136 $$
$$ b = frac {432 left (1080-540 sqrt {3} -42 pi -3 pi ^ 2 + sqrt {3} pi ^ 2 right)} { pi ^ 4} Aproximadamente 1.02675 $$
$$ c = – frac {3240 left (864-432 sqrt {3} -36 pi -2 pi ^ 2 + sqrt {3} pi ^ 2 right)} { pi ^ 5} aproximadamente -0.128777 $$ Esto daría $ Phi = 9.91 times 10 ^ {- 8} $ mientras configura $ b = 1 $ y $ a = c = 0 $, sobre ese rango, la norma sería $ Phi = 4.19 times 10 ^ {- 5} $.
Prueba esto. Grafico $ y = e ^ x – (x + 1). $ Obtendrá lo que parece ser una parábola cerca $ x = 1. $ Por supuesto, no es realmente una parábola. De hecho, sería absolutamente asombroso si la función trascendental $ e ^ x – x – 1 $ tenía el foco geométrico exacto y la propiedad de directriz que tiene una parábola verdadera. Pero parece bastante claro (esto no es una prueba, por supuesto, ya que solo estamos viendo una imagen) que la tangente en $ x = 0 $ de este gráfico es horizontal. Suponiendo esto, eso significa la tangente a la gráfica de $ y = e ^ x – (x + 1) + 0.01x $ estarán $ y = 0.01x. $ ¿Por qué? Cuando estamos muy cerca de $ x = 0, $ esencialmente estamos agregando la gráfica de la $ x $-eje a la gráfica de $ y = 0.01x. $ Y efectivamente, si miras un gráfico de $ y = e ^ x – (x + 1) + 0.01x $, entonces lo verás cerca $ x = 0 $ el gráfico es lineal y no horizontal (esto se puede decir sin tratar de determinar si es realmente $ y = 0.01x $ en lugar de posiblemente alguna otra línea no horizontal), lo que significa que los cambios en $ y $ son proporcionales (por una constante distinta de cero) a los cambios en $ x, $ algo que NO era cierto para la gráfica de $ y = e ^ x – (x + 1). $
Le ayudará a investigar, por sí mismo, los gráficos de $ y = e ^ x – (x + 1) + ax $ para varios valores de $ a neq 0. $ En todos estos casos, debería encontrar que el gráfico cruza el $ x $-eje en un ángulo distinto de cero, aunque cuando $ a $ esta cerca de $ 0 $ es posible que tenga que acercar un poco para ver esto.
Esta investigación sugiere que, entre todas las funciones lineales posibles (por “lineal”, quiero decir “algebraica de grado como máximo $ 1), $ el que MEJOR se aproxima $ e ^ x $ en la vecindad de $ x = 0 $ es $ Hacha + B $ por $ A = 1 + a $ y $ B = 1, $ dónde $ a = 0. $ [We actually haven’t looked at what happens if $B neq 1.$ It should be easy to see what happens if $B neq 1,$ regardless of how we might try to vary the coefficient of $x$ to fix things.]
Por lo general, el siguiente paso, cuando a los estudiantes se les presenta una investigación como esta, es considerar qué término cuadrático podríamos agregar para obtener una mejor aproximación. Pero antes de hacer eso, veamos un ajuste intermedio a la aproximación $ 1 + x, $ uno de la forma $ 1 + x + a | x | ^ {1.3}, $ para varios valores de $ a. $ La razón por la que estoy usando $ | x | $ es evitar problemas con los sistemas informáticos de álgebra que intentan interpretar todo para números complejos. Lo encontrarás cerca $ x = 0 $ no importa cual sea el valor de $ a $ es. Considere, por ejemplo, la gráfica de (1) $ y = e ^ x – (1 + x) + 2 | x | ^ {1.3} $ y la gráfica de (2) $ y = e ^ x – (1 + x) + 42 | x | ^ {1.3} $. No parece haber distinción cualitativa entre (1) las diferencias de los valores de $ e ^ x $ y los valores de $ 1 + x + 2 | x | ^ {1.3} $ y (2) las diferencias de los valores de $ e ^ x $ y los valores de $ 1 + x + 42 | x | ^ {1.3}. $ Por supuesto, para ser más convincente (sin embargo, todavía no es una prueba), querrá acercarse más a $ x = 0 $ para ver si esta aparente similitud entre (1) y (2) se mantiene. Además, si prueba valores negativos de $ a, $ entonces encontrará que el gráfico está debajo del $ x $-eje, pero las características cualitativas son las mismas. Estar debajo del $ x $-eje para valores negativos de $ a $ solo significa que cuando $ a <0 $ y estamos cerca de $ x = 0, $ los valores de $ e ^ x $ están menos que los valores de $ 1 + x + a | x | ^ {1.3}. $
Repasemos un poco las cosas. Primero, $ 1 + x $ es la mejor aproximación lineal a $ e ^ x $ en el sentido de que, como $ x $ enfoques $ 0, $ los errores son menores que $ ax $ para cualquier $ a neq 0. $ El párrafo anterior parece mostrar que no obtenemos ningún beneficio sustancial al considerar ajustes del formulario $ a | x | ^ {1.3}, $ ya que el efecto de ajustar $ 1 + x $ añadiendo $ a | x | ^ {1.3} $ parece producir gráficos que parecen $ a | x | ^ {1.3}. $
Si repite la investigación anterior para otras posibilidades del formulario $ 1 + x + a | x | ^ {b}, $ dónde $ 1 entonces encontrará que esencialmente sucede lo mismo — no hay una aproximación MEJOR única para estos exponentes, en el sentido de que NO hay un valor único de $ a $ (para cualquier especificado previamente $ b) $ que da una aproximación cualitativamente mejor que todos los demás valores de $ a. $
La situación cambia abruptamente si usamos $ b = 2. $ Considere las gráficas de $ y = e ^ x – (1 + x – 2x ^ 2) $ y $ y = e ^ x – (1 + x + 5x ^ 2) $. En cada caso, los gráficos aparecen cuadráticos cerca del origen, lo que sugiere que los errores son proporcionales a $ x ^ 2, $ que no es cualitativamente diferente a simplemente usar la aproximación $ 1 + x. $ Si experimentas cambiando el coeficiente de la cuadrática, encontrarás lo mismo hasta que, por casualidad, pruebes el valor mágico. $ 1 / 2. $ La gráfica de $ y = e ^ x – (1 + x + frac {1} {2} x ^ 2) $ parece ser cúbico cerca $ x = 0. $
Para cerrar esto, porque esto se está haciendo mucho más largo de lo que realmente tuve tiempo (comenzó como un comentario), $ 1 + x + frac {1} {2} x ^ 2 $ es la mejor aproximación cuadrática a $ e ^ x $ en el sentido de que, para funciones de la forma $ ax ^ 2 + bx + c, $ no obtendrá que los errores sean más pequeños que cuadráticos (en $ x) $ como $ x $ enfoques $ 0 $ a menos que tu elijas $ a = frac {1} {2} $ y $ b = 1 $ y $ c = 1. $ Si no tienes $ c = 1, $ entonces habrá un error de “orden cero” (es decir, los errores serán proporcionales a $ x ^ 0 $ en el limite como $ x flecha derecha 0). $ Y si $ c = 1, $ pero tu no tienes $ b = 1, $ entonces habrá un error de “primer orden” (es decir, los errores serán proporcionales a $ x ^ 1 $ en el limite como $ x flecha derecha 0). $ Y finalmente, si $ c = 1 $ y $ b = 1, $ pero tu no tienes $ a = frac {1} {2}, $ entonces habrá un error de “segundo orden” (es decir, los errores serán proporcionales a $ x ^ 2 $ en el limite como $ x flecha derecha 0). $ Sin embargo, si $ c = 1 $ y $ b = 1 $ y $ a = frac {1} {2}, $ entonces el error será proporcional a $ x ^ 3 $ (y no solo a un orden intermedio de pequeñez, como $ x ^ {2.3} $ o $ x ^ {2.87}) $ en el limite como $ x flecha derecha 0. $
En cuanto a la situación con $ sin x, $ lo que pasa es que no solo es $ x $ la mejor aproximación lineal, pero de hecho $ x $ también es la mejor aproximación cuadrática. Es decir, la mejor aproximación cuadrática es $ x + 0x ^ 2. $ Y si miras el gráfico de $ sin x – x $, verás que se parece $ x ^ 3 $ cerca $ x = 0. $
Terminaré con esta pregunta. ¿Cómo sucede que, una vez que nos topamos con la mejor aproximación cuadrática, la única forma de obtener una mejor aproximación? es considerar ajustes cúbicos? Es decir, ¿por qué no tenemos lo mejor? $ x ^ b $ aproximaciones para valores no enteros de $ b $? O para decirlo de otra manera, ¿podría ser posible que el error entre una función y su mejor aproximación cuadrática NO sea proporcional a $ x ^ 3 $ como $ x rightarrow 0, $ sino ser un poco más tarde, por ejemplo, siendo proporcional a $ x ^ {2.71} $ como $ x flecha derecha 0 $? En resumen, ¿qué hay detrás de estos saltos de exponente, que uno podría ver como análogos a los saltos cuánticos en la energía de los electrones en los átomos? (Respuesta: Tiene que ver con el $ C ^ n $ supuestos de suavidad en el teorema de Taylor).