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Solución:
Dado un espacio medible $X$ equipado con una medida $mu$, se dice una función $f : X to mathbbC$ que está definida casi en todas partes (es decir, hasta un conjunto de medida $0$) ser un elemento de $L^1$ si
$$int_X |f| dmu < infty$$
Más correctamente, tenemos que identificar funciones que son iguales en casi todas partes, por lo que los elementos del espacio de Lebesgue $L^1$ son realmente clases de equivalencia de funciones bajo la relación de ser casi en todas partes iguales, pero esto es una nota técnica.
En términos prácticos, una función medible de valor real o complejo en la recta real con respecto a la medida de Lebesgue es un elemento de $L^1$ si $$int_-infty^infty |f(x)| dx < infty$$ Así que una función como $chi_[0,1]$ que es $1$ en $[0,1]$ y $0$ afuera están en $L^1$, al igual que $e^-x^2$.
Si $f$ es lo suficientemente continua, esto coincide con la integral habitual de Riemann. Ahora es bastante fácil probar que $$int_mathbbR |sin x| dx$$ no puede ser finito, entonces $sin x notin L^1(mathbbR)$. En cierto sentido, las funciones $L^1$ tienen que decaer a $0$ en $pm infty$: De hecho, una forma de pensar en $L^1$ es que es la finalización de
$$C_C = \textfunciones continuas admitidas en un conjunto compacto$$
bajo la métrica inducida por la integración (de nuevo, con ligeras advertencias técnicas).
En resumen, ignorando las definiciones técnicas, las funciones $L^1$ son exactamente aquellas funciones que tienen picos lo suficientemente pequeños y decaen lo suficientemente rápido como para que $int |f| < infty$.
Un funcional $L^1$ desde un espacio $X$ a $mathbbR$ es una función medible $mu$ tal que $$ int_X |f|,dmu < infty . $$