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Solución:
La integración de una función vectorial es un término ambiguo, puede significar muchas integrales completamente diferentes.
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integral de una función vectorial sobre un parámetro escalar independiente, $int vecv,dt$ es simplemente 3 integrales para cada componente. Ejemplo: integración de la velocidad para obtener la posición en el espacio.
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integral de una función vectorial sobre un camino: $int vecvcdot dvecr$. Esto integra la contribución de un campo vectorial a lo largo de un camino, por ejemplo, el trabajo como integral de la fuerza a lo largo de un camino, la ley de Faraday (inducción) y la ley de Ampere, la circulación en hidrodinámica, etc.
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integral de una función vectorial sobre una superficie: $iint vecvcdot dvecS$. Esto te dice el flujo del campo vectorial a través de una superficie. Por ejemplo, el flujo real de líquido para el campo de velocidad, el flujo magnético (relevante para la inducción), etc.
2 y 3 satisfacen relaciones especiales (para campo potencial, (2) da cero para bucle cerrado, para campo sin fuente, (3) da cero para superficie cerrada,…) – consulte las leyes de Stokes y Gauss.
Hay otras opciones menos comunes… pero la esencia es que debe saber cuál es su vector (¿es simplemente una variable vectorial? ¿Está definido en todas partes en el espacio, un campo?) y qué significa su expresión. Por lo general, en física, es solo una de las leyes naturales en forma general cuando pasas de la expresión local a la global.