Solución:
La lógica matemática es una bestia extraña.
Es una rama perfectamente ordinaria de las matemáticas cuyo objetivo es … estudiar las matemáticas en sí.
Así, las diferentes ramas de la lógica matemática se dedican al estudio de algunos bloques de construcción básicos de la práctica matemática: lenguaje, modelo, demostración, computación.
Los nombres y alcances de las áreas de las matemáticas no siempre están claramente delineados. En este caso teoría de conjuntos es un poco un área gris. Existe un argumento para considerarlo como parte del tema más amplio de la lógica matemática, pero hay muchos teóricos de conjuntos que no se considerarían a sí mismos lógicos.
Del mismo modo, si la teoría de la recursividad es parte de la lógica o la informática depende de a quién le preguntes.
Dicho esto, las dos descripciones no están en conflicto. Los cuatro subcampos que enumera Wikipedia son todos ingredientes del estudio de “qué es una prueba rigurosa” y qué pruebas rigurosas pueden y no pueden lograr.
La teoría de la prueba y la teoría del modelo son incuestionablemente parte de la lógica.
Teoría de conjuntos es parte del lenguaje común de las pruebas matemáticas – se usa como una forma general de habla sobre las cosas de interés real en cualquiera que sea su campo. Descubrir las reglas apropiadas sobre cómo se puede usar la teoría de conjuntos, por lo tanto (¡posiblemente!) Pertenece como parte del estudio de las características comunes de las demostraciones matemáticas en general.
Teoría de la recursividad es el estudio de la computación mecánica y es, además de ser la base de la informática, una herramienta técnica importante para demostrar resultados famosos de la teoría de la prueba, como Teorema de incompletitud de Gödel.
La lógica matemática significa muchas cosas, según el contexto. En particular, incluye dos áreas de estudio relacionadas:
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Usar matemáticas para estudiar temas “lógicos” como pruebas, modelos, computabilidad y conjuntos.
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Usar esos temas lógicos para estudiar matemáticas.
La cita de Tao solo araña la superficie de la lógica matemática. Es análogo a llamar a los hechos elementales sobre conjuntos al comienzo de un libro de texto “teoría de conjuntos”, cuando el verdadero estudio de la teoría de conjuntos es mucho más profundo.
La razón por la que la lógica se divide en “teoría de la prueba, teoría de modelos, teoría de la computabilidad y teoría de conjuntos” es histórica, es decir, no se basa en ningún tipo de argumento riguroso. Esas cuatro áreas se desarrollaron durante un período de tiempo similar y todas fueron motivadas originalmente por ciertos problemas fundamentales en matemáticas. Algunas de estas áreas y sus subáreas todavía están estrechamente relacionadas con los fundamentos de las matemáticas, mientras que otras están menos conectadas.
Con el tiempo, a medida que la “lógica” se convirtió en su propio subcampo de las matemáticas, estos temas se volvieron cada vez más fijos como “lógica”. los Manual de lógica matemática en 1977 cristalizó esta división en cuatro áreas.
Otra característica común de las cuatro áreas es un enfoque en los lenguajes formales y la definibilidad formal. Esto no es común en otras áreas de las matemáticas, donde normalmente solo se usa el lenguaje natural.
Sin embargo, las cuatro partes no pretenden ser exhaustivas. Partes de la teoría de categorías están estrechamente relacionadas en espíritu con las otras áreas de la lógica, aunque la teoría de categorías no es una de las cuatro áreas. Algunas áreas de la teoría de modelos son mucho más “matemáticas” que otras áreas de la lógica matemática. Así que toda la idea de dividir la “lógica” en cuatro partes debe tomarse con cautela.