Luego de indagar en diferentes repositorios y páginas webs finalmente encontramos la respuesta que te compartiremos ahora.
Solución:
Sin embargo, esto se vuelve extraño en lo que respecta a los conectores lógicos. En la lógica proposicional, los objetos realmente se piensa que son “funciones constantes” en el sentido de que se considera que tienen un true o false valor, y podemos aplicarles conectores lógicos. Pero si consideramos que estas son las cosas que los predicados de primer orden toman como argumentos, ¿qué sentido tiene esto? En $PA$ de primer orden, por ejemplo, los predicados de orden cero son básicamente números. ¿Qué significado tiene $(12 vee 13)wedge(14vee neg 15)$?
La parte enfatizada es muy engañosa. Por lo general, no tomamos nuestras constantes como predicados de “orden cero”, sino como $0$-ary funciones (e incluso eso no es forzado). Un predicado $n$-ario toma una tupla $n$ y devuelve un valor de verdad, mientras que una función $n$-aria toma $n$-tuplas y devuelve un objeto del dominio, por lo que es natural identificar $0$ Funciones -arias con constantes. ¡Pero entonces las constantes no serán predicados de “orden cero”!
EDITAR: También parece confundido por la definición de lógica de “orden cero”, lógica de primer orden, etc. Básicamente, una lógica es de $ n $ orden si no se cuantifica ninguna variable de orden $ n + 1 $, donde el orden de las variables se puede definir recursivamente estableciendo una jerarquía de tipo (relacional) de la siguiente manera:
- $o, i$ son tipos de orden $0$ y $1$, respectivamente (son, respectivamente, los tipos de los valores de verdad y de los individuos);
- si $tau_1, dots, tau_n (n geq 1)$ son de cualquier tipo excepto $o$, entonces $langle tau_1, dots, tau_nrangle$ es un tipo de orden $1 + max ord(tau_1), dots, ord(tau_n)$. Intuitivamente, $langle tau_1, dots, tau_nrangle$ es el tipo de relación $n$-aria con argumentos de $tau_1, dots, tau_n$. Entonces, por ejemplo, las relaciones $n$-arias de primer orden son variables de tipo $langle i, dots, irangle$ (que son $n$ $i$’s) y orden $2$.
Entonces, la lógica de primer orden se llama así porque no se cuantifica ninguna variable de segundo orden. De manera similar, una lógica de orden cero se denomina así porque no se cuantifica ninguna variable de orden $1$ (es decir, no cuantificamos sobre individuos). Nótese además que las variables de relación toman individuosno valores de verdad, como entradas.
La idea es que las proposiciones de la lógica proposicional puedan considerarse como predicados de “orden cero”. No toman ninguna entrada y se pueden considerar básicamente como “funciones constantes con valor de $ ,1$”. Los predicados de primer orden los toman como entrada. Los predicados de segundo orden toman predicados de primer orden o predicados de orden cero como entrada. Y así.
No.
Una “función con valor constante en $ ,1$” es (equivalente a) uno de los números $ , 1$. Así que si esto fuera true, la lógica de primer orden estaría cuantificando sobre el conjunto $ , 1$. Es decir, una declaración como $forall x P(x)$ se reduciría inmediatamente a $P(0)wedge P(1)$, lo que generalmente no es válido (aunque sería válido si su dominio de discurso pasa a ser ser $ , 1$, por ejemplo en álgebra booleana).
Las proposiciones de la lógica proposicional cuantifican sobre nada en absoluto; son variables booleanas nulas, como ha descrito. Los predicados de primer orden cuantifican sobre algunos objetos, pero no necesariamente booleanos. Por ejemplo, bajo PA, cuantifican sobre números naturales, mientras que bajo ZFC cuantifican sobre conjuntos (pero esto es solo una convención semántica; sintácticamente, este dominio no se especifica). Los predicados de segundo orden cuantifican sobre estos predicados de primer orden, en cierto sentido, pero el dominio de estos predicados es nuevamente específico del espacio del problema. Por ejemplo, una reafirmación de segundo orden del esquema del axioma de separación permitiría reemplazar el predicado ligado $phi(x)$ con algo como $x in S$, por alguna variable libre $S$ previamente descrita. El símbolo $in$ no pertenece a la lógica de primer orden sino a la teoría de conjuntos. Sintácticamente, esto es válido porque el símbolo actúa como un predicado de primer orden de “aspecto divertido”. En otras palabras, podríamos escribir fácilmente $mathrmIn(x, S)$, pero eso sería poco convencional. Sin embargo, $in$ o $mathrmIn$ tiene un significado semántico de teoría de conjuntos que es específico de ZFC; este no es solo un símbolo arbitrario que sacamos de la nada (de la misma manera que el 2 no es un símbolo sin sentido bajo PA).
Así que para unirlo todo:
- Las proposiciones son variables booleanas sintácticamente y representan semánticamente true o false declaraciones sobre nuestro dominio semántico
- Los predicados de primer orden son sintácticamente funciones de un dominio no especificado y un codominio booleano (es decir, producir en lugar de consumir booleanos), y semánticamente son declaraciones con “falta un poco”, específicamente alguna variable vinculada que puede completarse desde nuestro dominio.
- Los predicados de segundo orden son sintácticamente funciones de orden superior de dominio no especificado con un codominio de “predicados de primer orden”, y semánticamente son declaraciones a las que “falta una fórmula completa”, que nuevamente pueden completarse desde nuestro dominio.
- Este proceso puede llevarse a cabo para tantas capas como desee. Cada capa permite cuantificar sobre la capa anterior, que es sintácticamente como una función que produce los predicados de la capa anterior, y semánticamente como introducir otra capa de direccionamiento indirecto.
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