Si hallas algún problema en tu código o trabajo, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes subir el código al proyecto final.
Solución:
Hay muchos otros cuantificadores (ignorando ejemplos de “lenguaje natural” como “muchos” que son difíciles de definir):
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infinitamente muchos $x$ son $varfi$.
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incontables muchos $x$ son $varfi$.
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el mismo numero de $x$ son $varfi$ como son $psi$.
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Un conjunto cofinal de $x$ (con respecto al ordenamiento dado por $theta$) son $varfi$.
y así. Estos se llaman cuantificadores generalizados y su estudio es un key parte de teoría del modelo abstracto.
Curiosamente, si bien generalmente es fácil mostrar que un cuantificador generalizado no es definible de primer orden (generalmente a través de la compacidad), hay un sentido preciso en el que $\para todos,existe$ es completo: a saber, Lindstrom demostró que agregar cualquier otro cuantificador a la lógica de primer orden que no sea reducible a esos dos resultados en un sistema que no es compacto o no tiene la propiedad de Lowenheim-Skolem. (En realidad, este es un resultado mucho más general, lo que nos evita tener que definir con precisión “cuantificador”).
En principio, podríamos inventar arbitrariamente muchos cuantificadores distintos. $forall xdos puntos phi(x)$ y $existe xdos puntos phi(x)$ hacer ciertas afirmaciones sobre la clase $C:=\,xmidphi(x),$: uno dice que $C$ es el todoclase (o que su complemento está vacío), el otro dice que $C$ no está vacío. Y $existe!$ dilo $C$ es un singleton. Podríamos introducir cuantificadores para enunciados bastante arbitrarios sobre $C$pero lo más natural sería quizás sobre la cardinalidad de $C$: Declarando que $C$ o su complemento tiene al menos $n$a lo sumo $n$más que $n$menos que $n$o exactamente $n$ elementos para una cardinalidad fija finita o infinita $n$ se me ocurre. De estos, aquellos con cardinalidades finitas se construyen fácilmente a partir de $existe$ y $paratodos$ (al igual que hacemos con $existe!$).
Sin embargo, cualquier cuantificador sobre cardinalidades infinitas es problemático en una teoría de primer orden (es decir, cuando solo podemos “hablar” sobre los objetos de nuestro universo, pero no sobre conjuntos de objetos de nuestro universo): No hay reglas adecuadas de inferencia que acompañen a ellos. una prueba de $existe x,phi(x)$ puede consistir en la construcción de un canto $a$ con $fi(a)$. ¿Qué debe hacer una prueba de $existe^infty x,phi(x)$ con $existe^infty$ pretendía significar “hay infinitamente muchos” parece? Exhibiendo infinitas $a_n$ con $phi(a_n)$? No se puede hacer eso en una teoría de primer orden per se.
Sin embargo, fuera del formalismo de primer orden, algunos de estos cuantificadores son muy comunes: uno muy útil es “casi todos”, que en el contexto de los números naturales se entiende como “todos menos un número finito”. “Casi todos” $n$ tener propiedad $fi$ es entonces un atajo para $existe n_0inBbb Ncolon forall nin Bbb Ncolon n>n_0to phi(n)$, una construcción muy común en la introducción de límites. Observe cómo las mismas propiedades del conjunto de números naturales nos permiten expresar “todos menos un número finito”. (En otros contextos, como la teoría de la medida, usamos “casi todos” con un significado diferente, a saber, “hasta un conjunto de medidas $0$“)