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Solución:
Introducimos un signo menos para equiparar el concepto matemático de potencial con el concepto físico de energía potencial.
Tomemos el campo gravitacional, por ejemplo, que aproximamos como constante cerca de la superficie de la Tierra. Entonces, el campo de fuerza se puede describir mediante $vecF(x,y,z)=-mghate_z$, tomando la dirección arriba/abajo como la dirección $z$. El potencial matemático $V$ sería $V(x,y,z) = -mgz+textConstante$ y satisfaría $nabla V=vecF$. Esto se correspondería con la disminución de la altura y el aumento de la energía potencial, lo que nos obligaría a redefinir la energía mecánica como $TV$ para mantener la conservación.
En lugar de redefinir la energía mecánica, introducimos el signo menos $vecF = -nabla V$ que iguala la noción física de energía potencial con la noción matemática de potencial escalar.
Si la fuerza resultante que actúa en un cuerpo es menos el gradiente de potencial, puedes demostrar que $fracdEdt = 0$. Donde E es la energía total de la partícula. Entonces la energía total, kinect + potencial se conserva.
En caso unidimensional:
$fracdEdt=fracd(frac12mv^2+V(x))dt=mvdotv+fracdV dxfracdxdt$
$=v(ma + fracdVdx)$
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