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Solución:
En primer lugar, siempre debes usar tu intuición. Si encuentra que su intuición era correcta, entonces sonría. Si encuentra que su intuición estaba equivocada, use la experiencia para afinar su intuición.
Espero estar interpretando su pregunta correctamente – aquí va. Dado que no está interesado en ninguna de las pruebas, solo me centraré en la intuición. Ahora, consideremos una serie de $sum _n frac1n^p$, con $p>0$ como parámetro. Intuitivamente, la convergencia o divergencia de la serie depende de qué tan rápido el término general $frac1n^p$ tiende a $0$. Esto es así porque la suma es la de infinitas cantidades positivas. Si estas cantidades convergen a $0$ demasiado lentamente, el número de sumandos en cada suma parcial será más dominante que la magnitud de los sumandos. Sin embargo, si las cantidades convergen a $0$ lo suficientemente rápido, entonces en cada suma parcial la magnitud de los sumandos estará dominada por números de pequeña magnitud y, por lo tanto, compensará el hecho de que hay muchos sumandos.
Entonces, la pregunta es qué tan rápido converge $frac1n^p$ a $0$. Veamos algunos valores extremos de $p$. Si $p$ es muy grande, digamos $p=1000$, entonces $frac1n^p$ se vuelve muy pequeño muy rápido (experimente con el cálculo de unos pocos valores para ver eso). Entonces, cuando $p$ es grande, parece que el término general converge a $0$ muy rápido y, por lo tanto, esperaríamos que la serie converja. Sin embargo, si el valor de $p$ es muy pequeño, digamos $p=frac11000$, entonces $frac1n^p$ es bastante grande para las primeras posibilidades de $n$, y aunque tiende monótonamente a $0$, lo hace muy lentamente. Entonces, esperaríamos que la serie diverja cuando $p$ es pequeño.
Ahora, si $0
Entonces, solo por este análisis directo del comportamiento con respecto a la variación del parámetro $p$, sabemos (intuitivamente) que debe haber algún valor de corte para $p$ que sea la puerta de enlace entre la convergencia y la divergencia. Lo que sucede en ese valor de puerta de enlace para $p$ no está claro, y no hay una razón convincente para sospechar un comportamiento de la serie sobre otro. Ahora, el paradero particular de ese valor de puerta de enlace especial para $p$ debería depender en gran medida de las particularidades del término general. Aquí es donde tendrás que profundizar en pruebas más rigurosas.
Espero que esta respuesta bastante larga aborde lo que te estabas preguntando. Básicamente, dice que debe existir un parámetro de corte, pero no podemos esperar decir nada sobre su paradero ni el comportamiento en ese valor de corte sin un estudio cuidadoso de los términos generales.
Producimos dos series que tienen un espíritu cercano a la serie que mencionaste. Quizás la divergencia del primero y la convergencia del segundo sean más claras.
Considere la serie $$frac12+frac14+frac14+frac18+frac18+ frac18+frac18+frac116+frac116+frac116+frac1 16+frac116+cdots.$$ Así que hay un término de $1$ igual a $frac12$, luego un bloque de $2$ cada uno igual a $frac 14$, luego un bloque de $4$ cada uno igual a $frac18$, luego un bloque de $8$ cada uno igual a $frac116$, y así sucesivamente Siempre. Cada bloque tiene una suma $frac12$, por lo que si agrega suficientes términos, su suma será muy grande. Pero se necesitará una gran cantidad de términos para sumar $ 1000 $, muchos más términos que átomos hay en el universo. Tenga en cuenta que cada término es menor que el término correspondiente en la serie armónica, por lo que si suma suficientes términos de la serie armónica, la suma será muy grande.
Ahora considera la serie $$frac11^2+frac12^2+frac12^2+frac14^2+ frac14^2+frac14^2+frac14^2+frac18^2+frac1 8^2+frac18^2+frac18^2+frac18^2+cdots.$$ Cada término es $ge$ el término correspondiente en la serie $1+frac12^2+frac13^2+frac14^2+frac15^2 +cdots$.
Nuevamente, encontramos las sumas de los bloques. El primer bloque tiene una suma de $1$. El segundo tiene suma $frac12$. El tercero tiene suma $frac14$. El cuarto tiene suma $frac18$, y así hasta el infinito. Entonces, si sumamos “todos” los términos, obtenemos sum $1+frac12+frac14+frac18+cdots$, una serie familiar con suma $2$.
Intuitivamente, el principal argumento por el que las series armónicas divergen es que $forall k sum_n=k^n=2kfrac1n>kfrac12k=frac 12$ ya que el elemento más pequeño es $frac12k$ y hay k elementos en el intervalo $[k;2k]PS Entonces la suma armónica para cualquier intervalo finito $[k;2k]$ es > 0,5.
Entonces, si divide el intervalo infinito sobre el cual hace la suma en intervalos $[1;k][k;2k][2k;4k],…,[2^nk;2^n+1k],…$ cada intervalo tiene una suma superior a 0.5 y dado que hay un número infinito de estos intervalos para cubrir todo el $mathbbZ$ diverge.
Básicamente, se vuelven cada vez más pequeños, pero no lo suficientemente rápido como para converger en un límite. El armónico p, por otro lado, debido al cuadrado en el denominador no puede tener esta “capacidad” y converger, es decir, se hacen más pequeños lo suficientemente rápido. Para tratar de explicarlo en un nivel intuitivo, es mejor algo como esto: está agregando un número infinito de la secuencia, por lo que para converger a un límite L tienen que hacerse más pequeños con algo de “velocidad”. Ahora, incluso si se acercan a 0 si la velocidad a la que se hacen más pequeños no es lo suficientemente alta, todavía se agregarán demasiadas cosas y nunca convergerán.