Esta es la contestación más exacta que encomtrarás brindar, sin embargo obsérvala detenidamente y analiza si se puede adaptar a tu proyecto.
Solución:
No estoy seguro de si esto es lo que quieres o no. Considere la serie $displaystylesum_n=1^infty a_n$con$$a_n=begincases1&text si 2^n-1text es primo\0&text de lo contrario.endcases$$No se sabe si converge o no.
Solo por diversión, sea cual sea el sistema fundamental $S$ en el que esté trabajando, siempre que $S$ pueda manejar la aritmética básica, aquí hay una serie que $S$ (y, por lo tanto, usted) no puede probar que converge, y espera que $S ¡$ nunca demuestra que diverge! $ defnnmathbbN $
Sea $f : nn to nn$ tal que para cada $n$ natural, tenemos $f(n) = 1$ si hay una prueba sobre $S$ de longitud a lo sumo $n$ de una contradicción, y $f(n) = 0$ en caso contrario.
Entonces $S$ no puede demostrar que $sum_n=0^infty f(n)$ converge (de lo contrario, $S$ demuestra ser consistente, lo que contradice el teorema de incompletitud de Gödel).
Y es mejor que $S$ no pruebe que $sum_n=0^infty f(n)$ diverge (de lo contrario, $S$ demuestra ser inconsistente).
Un hecho bastante curioso (si nunca antes se ha visto el fenómeno de incompletitud) es que, si $S$ es consistente, entonces $S$ puede demostrar que $f(0) = 0$ y $f(1) = 0$ y $f(1+1) = 0$ y así sucesivamente, pero no puede probar “$forall n in nn ( f(n) = 0 )$”.
Uno puede mejorar esto, a través de algo equivalente al truco de Rosser, para obtener una serie que $S$ (y por lo tanto usted) no puede probar o refutar si converge.
En general, cualquier pregunta de la forma “¿Es siempre posible determinar (probar o refutar) si un objeto en la colección $C$ satisface la propiedad $P$?” es probable que tenga “no” como respuesta si puede usar $P$ en miembros adecuados de $C$ para determinar si una oración determinada sobre $S$ es demostrable o no.
Sección de Reseñas y Valoraciones
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