Posterior a investigar con expertos en esta materia, programadores de varias ramas y maestros dimos con la solución al problema y la compartimos en esta publicación.
Solución:
Parece que le interesa por qué los “problemas de ecuaciones” $ Ax = b $ son llamados lineal mientras que “problemas de valores propios” $ Ax = lambda cdot x $ son llamados no lineal. Es probable que existan muchas razones para usar este lenguaje, pero aquí hay una que invoca la noción de combinaciones lineales.
Suponer que $ x_1 $ y $ x_2 $ son dos soluciones a los “problemas de ecuaciones” $ Ax_1 = b_1 $ y $ Ax_2 = b_2 $. Considere una combinación lineal arbitraria $ x $ de $ x_1 $ y $ x_2 $, entonces $ x = c_1 cdot x_1 + c_2 cdot x_2 $. Si definimos $ b = c_1 cdot b_1 + c_2 cdot b_2 $, entonces
$$ Ax = A (c_1 cdot x_1 + c_2 cdot x_2) = c_1 cdot Ax_1 + c_2 cdot Ax_2 = c_1 cdot b_1 + c_2 cdot b_2 = b $$
Esto ilustra que “las combinaciones lineales de soluciones a problemas de ecuaciones son soluciones a problemas de ecuaciones”.
Ahora, suponga que $ x_1 $ y $ x_2 $ son dos soluciones a los “problemas de valores propios” $ Ax_1 = lambda_1 cdot x_1 $ y $ Ax_2 = lambda_2 cdot x_2 $. Considere nuevamente una combinación lineal arbitraria $ x = c_1 cdot x_1 + c_2 cdot x_2 $. Esta combinación lineal $ x $ resuelve un problema de valor propio si $ Ax = lambda cdot x $ para algunos $ lambda $. Sin embargo, tenemos
$$ Ax = A (c_1 cdot x_1 + c_2 cdot x_2) = c_1 cdot Ax_1 + c_2 cdot Ax_2 = c_1 cdot lambda_1 cdot x_1 + c_2 cdot lambda_2 cdot x_2 overset ? = lambda cdot (c_1 cdot x_1 + c_2 cdot x_2) = lambda cdot x $$
El $? $ en esta ecuación indica que un adecuado $ lambda $ podría no existir. De hecho, no es difcil encontrar ejemplos en los que tal $ lambda $ no existe. Por ejemplo, considere los datos
begin align * A & = left[beginarrayrr
23 & 32 \
-16 & -25
endarrayright] & lambda_1 & = 7 & x_1 & = left[beginarrayr
2 \
-1
endarrayright] & lambda_2 & = -9 & x_2 & = left[beginarrayr
1 \
-1
endarrayright]
end alinear *
Tenga en cuenta que $ Ax_1 = lambda_1 cdot x_1 $ y $ Ax_2 = lambda_2 cdot x_2 $. Sin embargo, para $ x = x_1 + x_2 $, tenemos
$$ overset A left[beginarrayrr
23 & 32 \
-16 & -25
endarrayright] overset x left[beginarrayr
3 \
-2
endarrayright] = left[beginarrayr
5 \
2
endarrayright]
neq lambda cdot x $$
Nota al margen. Como se mencionó en los comentarios, hay otras razones para llamar al problema de los valores propios $ Ax = lambda cdot x $ no lineal. Por ejemplo, si se usa el polinomio característico $ chi_A (t) = det (t cdot I_n-A) $ para resolver los valores propios de $ A $, luego uno termina factorizando un $ n $polinomio de tercer grado, que es un problema no lineal.
También vale la pena señalar que tomar cualquier combinación lineal de dos vectores propios $ x_1 $ y $ x_2 $ correspondiente a el mismo valor propio$ lambda $ da una solución a un problema de valores propios. Esta es precisamente la afirmación de que los vectores propios correspondientes a un valor propio $ lambda $ están organizados en el eigenspace$ E_ lambda = operatorname Nulo ( lambda cdot I_n-A) $.
Lo más notable de la ecuación de valores propios $$ AX = lambda X ~~~~ (1) $$
es que el vector propio $ X $ muy especialmente regresa en el RHS con una constante multiplicativa (un escalar llamado valor propio $ lambda $). Por otro lado, en una ecuación lineal ordinaria
$$ AX = Y ~~~~ (2) $$$ X $ no vuelve, es algún otro vector (digamos) $ Y $ que nunca es proporcional a $ X $.
Para el operador diferencial $ A = frac d dx $, $ f (x) = e ^ ax $ es la única función propia posible tal que $$ frac d dx f (x) = af (x), $$
donde $ a $ es el valor propio. Tenga en cuenta el estado especial de la función exponencial aquí. Otras funciones $ sin ax, cos ax, tan ax, e ^ – ax ^ 2 $ no puede ser la función propia de este $ A $, porque no vuelven por diferenciarlos.
El operador $ A = frac d ^ 2 dx ^ 2 $ ser de segundo orden tiene dos funciones propias degeneradas linealmente independientes (LI) como $ sin ax $ y $ cos ax $ con el mismo valor propio $ -a ^ 2 $. Es importante destacar que cualquier combinación lineal de estos rwo $$ X = A sin ax + B cos ax $$ es también una función propia. Por eso (1) es lineal mientras que $$ AX = lambda X ^ 2 $$ es no lineal.
También tiene dos funciones propias degeneradas de LI más. $ e ^ iax $ y $ e ^ – iax $ con el mismo valor propio son funciones propias de $ frac d ^ 2 dx ^ 2 $ y también lo es cualquier combinación lineal de ellos $$ X = C e ^ – iax + D e ^ iax $$ es también su función propia.
En el caso de varios pares de funciones propias degeneradas, cualquier miembro de un par es una combinación lineal de los miembros del otro par, por ejemplo $ cos ax = frac 1 2 e ^ iax + frac 1 2 e ^ – iax. $
Suponer
$ A in M_ n veces n ( Bbb F), ; 0 ne x in Bbb F ^ b, ; 1 le n in Bbb N, etiqueta 0 $
para algún campo $ Bbb F $.
Con
$ Ax = lambda x, ; x ne 0, etiqueta 1 $
tenemos
$ (A – lambda I) x = Ax – lambda x = 0, etiqueta 2 $
De dónde
$ x in ker (A – lambda I) Longrightarrow det (A – lambda I) = 0. tag 3 $
Ahora
$ det (A – xI) in Bbb F[x], etiqueta 4 $
y en virtud de (0), tenemos
$ grados (A – xI) = n; etiqueta 5 $
así para $ n> 1 $, $ lambda $ satisface un polinomio de grado mayor que uno, de ahí la ecuación (3) para $ lambda $ no es lineal.
Por supuesto, el mapeo
$ A: Bbb F ^ n a Bbb F ^ n, ; x a Ax etiqueta 6 $
es lineal en $ x $; sin embargo, el mapeo
$ lambda x: Bbb F veces Bbb F ^ n to Bbb F ^ n, ; ( lambda, x) a lambda x etiqueta 7 $
es no lineal cuando se ve como una función de ambos $ lambda $ y $ x $, por lo tanto tampoco es el mapeo
$ (A – lambda I): Bbb F veces Bbb F ^ n a Bbb F ^ n, ; x a (A – lambda I) x; etiqueta 8 $
el proceso de formación $ det (A – lambda I) $ transforma estas no linealidades de dimensiones superiores en un polinomio (típicamente no lineal), que a menudo es más manejable en términos de localizar esos $ lambda in Bbb F $ para lo cual (2) se une.
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