Omar, parte de este gran equipo, nos ha hecho el favor de redactar este escrito porque domina a la perfección el tema.
Solución:
No podemos admitir que exista un conjunto cuyos miembros sean todos los espacios topológicos. Eso conducirá a una contradicción lógica, que habrá un conjunto que será miembro de sí mismo.
Esto no es del todo falso, pero al menos, es una declaración engañosa. Claro, en la formulación habitual de la teoría de conjuntos (es decir, ZFC), ningún conjunto puede ser miembro de sí mismo, pero esto se debe básicamente a que (para simplificar un poco) declaramos vía axioma que “no hay cadenas de miembros descendentes infinitas” (ver también, axioma de regularidad). Esto significa que, en particular, si hubiera un conjunto $ x $ tal que $ x in x $, entonces tendríamos
$$ cdots x en x en x $$
que es una cadena de miembros decreciente infinita. Entonces, eso sería una contradicción. El punto, sin embargo, es que hay variantes perfectamente buenas de ZFC en las que existen conjuntos $ x $ que satisfacen $ x in x $, ver también teoría de conjuntos no bien fundada.
De hecho, la topología se puede desarrollar de forma bastante independiente de si existen o no conjuntos bien fundamentados. Por lo tanto, esa cita no es un ejemplo de buena redacción matemática.
Sin embargo, el autor tiene razón en que no puede haber un conjunto de todos los espacios topológicos. Ahora puedes decir:
Espera, puedo definir la noción de espacio topológico. Es un par $ (X, tau) $ tal que [whatever]. Y si puedo definir un concepto, entonces debe existir el conjunto de todas las instancias de ese concepto. Entonces, el conjunto de todos los espacios topológicos debe existir.
Suena convincente, ¿verdad? De hecho, durante bastante tiempo, los matemáticos creyeron en la idea básica de que “si puedes definir un concepto, entonces el conjunto de todas las instancias de ese concepto debe existir”. Russell fue el primero en darse cuenta de que este principio, formalizado por el esquema del axioma (contradictorio) de la comprensión irrestricta, es insostenible. La prueba es algo como esto. Suponga que para cualquier fórmula $ phi (x) $ que pueda escribir, hay un conjunto de todos $ x $ que satisfacen $ phi (x) $. Entonces, hay un conjunto de todos $ x $ que satisfacen $ x notin x $, llámelo $ R $. Entonces $ y en R $ iff $ y notin y $, para todos $ y $. Entonces $ R in R $ iff $ R notin R $, una contradicción. Básicamente, esto sucede porque no podemos decidir consistentemente si $ R $ debe ser un elemento en sí mismo. Véase también la paradoja de Russell.
Entonces, necesitamos algunos nuevos principios de existencia de conjuntos, que (¡con suerte!) No conducen a una contradicción absoluta como esa. La colección estándar de principios de existencia de conjuntos se llama ZFC. Lo que tienes que entender sobre ZFC es que se basa en la filosofía de que “la única razón por la que un conjunto no debería existir es si es demasiado grande”. Entonces, por ejemplo, tenemos un esquema de axioma (es decir, reemplazo) que indica que, si el dominio de una función (definible) existe, entonces su rango (también conocido como imagen) también debe existir. Esto tiene sentido a la luz de la filosofía de ZFC, porque el rango de una función siempre tiene cardinalidad menor o igual a la cardinalidad de su dominio. Entonces, usando este principio, siempre podemos usar un conjunto $ X $ para probar la existencia de muchos conjuntos más pequeños (así como diferentes conjuntos de igual tamaño).
Volviendo al tema de los espacios topológicos, resulta que ZFC no puede probar la existencia de un conjunto de todos los espacios topológicos. De hecho, ZFC puede demostrar que es ningún conjunto de todos los espacios topológicos, porque tal conjunto sería “demasiado grande”. El problema con un conjunto que es demasiado grande es que podemos usar el principio antes mencionado para probar la existencia de una gran cantidad de conjuntos más pequeños, algunos de los cuales serán paradójicos, como el mencionado $ x: x notin x $ . Entonces, este es el enfoque habitual para (con suerte) evitar las paradojas, y requiere que las grandes colecciones, como la clase de todos los espacios topológicos, no puedan existir. Por una razón similar, no existe un “conjunto de todas las cosas”, ni un “conjunto de todos los conjuntos”, ni nada por el estilo.
Por supuesto, hay otras teorías de conjuntos en las que el “conjunto de todos los conjuntos” en realidad lo hace existe. Este es true en NFU, por ejemplo; y, si no me equivoco, también es el caso de que el conjunto de todos los espacios topológicos existe según NFU. Sin embargo, este tipo de teorías de conjuntos tienden a tener sus propios problemas, razón por la cual la mayoría de la gente tiende a preferir ZFC relativamente “dócil” (y sus extensiones) a las teorías de conjuntos relativamente “locas” como NFU.
En conclusión, su true que no hay un conjunto de todos los espacios topológicos, al menos en teorías “domesticadas” como ZFC. Sin embargo, la razón fundamental de esto son cuestiones de Talla, no cuestiones de la auto-membresía.
La declaración:
Un conjunto no puede ser miembro de sí mismo.
es una consecuencia del llamado Axioma de Fundación o Axioma de Regularidad. Otras consecuencias de este axioma son, por ejemplo, que no podemos tener las siguientes situaciones:
- Bucles de membresía: $ X en Y en X $
- Cadenas de membresía infinitas: $ X ni Y ni Z ni cdots $
Sin embargo, hoy en día se sabe que se pueden realizar muchas matemáticas estándar en el llamado ajuste $ sf ZF ^ – $ (los axiomas de Zermelo-Fraenkel sin fundamento).
En la situación de un “conjunto de todos los espacios topológicos”, nos encontramos con un problema más crítico que el de un conjunto que es un elemento en sí mismo, a saber, la paradoja de Russell. Muestra su cara cuando queremos seleccionar de nuestro “conjunto” $ mathscr T $ de espacios topológicos la colección:
$$ mathscr F = T in mathscr T mid T text no es un punto en sí mismo $$
Entonces este $ mathscr F $ induce un subespacio de $ mathscr T $ (en la topología discreta, digamos), y llegamos a la paradoja de Russell.
Esta paradoja, sin embargo, está relacionada con la observación de que “$ mathscr T $ es demasiado grande ser un conjunto “, a diferencia de” $ mathscr T $ se contiene a sí mismo “.
La teoría de conjuntos axiomáticos $ sf ZF $ supera esto al restringir el axioma de comprensión (también llamado “axioma de especificación”), que especifica cómo podemos formar nuevos conjuntos, de una manera adecuada.
Es posible que desee leer la paradoja de Russell. Básicamente, el problema es:
Sea $ S $ el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos.
Esto conduce a una contradicción ya que $ S $ no puede contenerse a sí mismo, ni tampoco puede contenerse a sí mismo. Por lo tanto, en general, no puede simplemente decir “deje que $ S $ sea el conjunto de todos los conjuntos con la propiedad $ Y $”, o podría encontrarse con una contradicción de este tipo.
La teoría de conjuntos de ZFC evita este problema al requerir que ningún conjunto pueda ser un elemento en sí mismo, a través del axioma de regularidad. Entonces, la colección de todos los espacios topológicos no puede ser un conjunto, o de lo contrario podríamos formar un espacio topológico en eso, convirtiéndolo así en un elemento en sí mismo.
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