Solución:
Los libros de texto sobre álgebra lineal están tratando de introducir un tema que es el resultado de muchos años de comprensión profunda de muchas ramas de las matemáticas, en el sentido de que el álgebra lineal es el lecho común natural para las construcciones matemáticas que antes no estaban relacionadas. Un libro nunca podría cubrir un área tan grande en un capítulo introductorio. Una analogía salvaje y audaz en otro campo podría ser la siguiente pregunta: ¿por qué la gente inventó la gramática cuando ya teníamos una comprensión informal de los demás?
Supongo que algunos podrían rastrear el álgebra lineal hasta la invención del cálculo infinitesimal por Leibniz y Newton. Cuando deriva una función en algún punto, obtiene la pendiente de la tangente de la curva en este punto: esta línea tangente es una aproximación de la función alrededor del punto. Esta aproximación es útil porque es fácil de calcular. Pero, ¿y si quiero hacer lo mismo para una función multivariable? Entonces tengo derivadas parciales, pero son solo aproximaciones “en una dirección” tomadas por separado. Si desea una aproximación de su función multivariable “en todas las direcciones en una”, necesita encontrar una manera de juntar todas estas aproximaciones parciales. Eso es lo que formaliza el álgebra lineal y, más precisamente, los mapas lineales entre espacios vectoriales lineales.
Además de otras respuestas y comentarios:
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el álgebra lineal permite tener una intuición geométrica con cosas que no son naturalmente geométricas. Por ejemplo, con el álgebra lineal, puedes tratar con espacios de polinomios, de funciones … y puedes aplicar los mismos razonamientos con polinomios, funciones … en estos espacios más o menos como si estuvieras tratando con vectores en $ Bbb R ^ n $. Eso explica la primera dificultad del álgebra lineal: la definición de un espacio vectorial es bastante abstracta a primera vista. Pero es precisamente esa abstracción la que explica el gran poder del álgebra lineal (y suele ser el caso de las matemáticas en general) porque es esa abstracción la que permite aplicar el mismo lenguaje y los mismos teoremas a objetos matemáticos tan diferentes.
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en consecuencia, el álgebra lineal es parte del lenguaje común de todos los matemáticos. Es bastante frecuente escuchar, en un nivel superior, que algo “es simplemente álgebra lineal” para decir que lo que queda por hacer debería ser fácil para todo matemático que escuche esta conversación.
Además, y más simple que los otros puntos que mencioné: ¡Necesitamos más de 2 o 3 dimensiones! Muchos ejemplos:
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en física cuando agregan tiempo como una cuarta dimensión y algunas teorías avanzadas como la teoría de cuerdas usan al menos 10 dimensiones (!) para describir la realidad
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en el análisis funcional, el objetivo es estudiar espacios de funciones (por ejemplo, espacios de funciones continuas en un intervalo, o diferenciables, o integrables, o que son las soluciones de una ecuación diferencial particular o PDE) que incluso pueden tener infinitas dimensiones.
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en estadística, es posible que necesite más para estudiar que 2 o 3 variables porque en la vida real, un mismo fenómeno puede depender de mucho más de 2 o 3 parámetros (por ejemplo, el clima puede depender de la temperatura, la velocidad del viento, la presión, las precipitaciones, la humedad … .) o puede querer comparar más de 2 o 3 parámetros (por ejemplo, comparar la tasa de desempleo en 20 países diferentes).
Esta parte del artículo de Wikipedia sobre álgebra lineal es buena:
- Del estudio de determinantes y matrices al álgebra lineal moderna
Se trata principalmente de comenzar con el estudio de soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y continuar con el desarrollo de la notación matricial hasta la definición axiomática de espacios vectoriales.
Otra línea es la geometría analítica o geometría vectorial, que combina álgebra y geometría. Ver por ejemplo:
- Analytische Geometrie – Geschichte
Nicolas Bourbaki fue un paso más allá: omitió términos geométricos como punto, línea, etc. y pensó que con el tratamiento del álgebra lineal se decía todo lo necesario.
Combinado con el cálculo, se llega al cálculo vectorial, por ejemplo, consulte:
- Cálculo vectorial
Una extensión importante que se dirige hacia infinitas dimensiones son:
- Espacios de Hilbert
Una extensión con desigualdades lineales conduce a la importancia económica
- Programación lineal