Agradecemos tu ayuda para compartir nuestras crónicas acerca de las ciencias informáticas.
Solución:
Como dijo egorovik en los comentarios, el problema es que no hay suficientes funciones medibles de Lebesgue-Lebesgue para hacer análisis, porque no todas las funciones continuas son medibles de Lebesgue-Lebesgue. Es decir, si define las funciones
-
$f : [0,1] a [0,1]ps es la función de Cantor
-
$ g : [0,1] a [0,2],g(x)=f(x)+x$
-
$ h : [0,2] a [0,1],h=g^-1$
después $h$ es una función continua con la propiedad de que existe un subconjunto medible de ps[0,1]ps tal que $h^-1(A)$ no es medible. Este $A$ se puede dar como $g^-1(B)$ dónde $B$ es cualquier subconjunto no medible de $g(C)$dónde $C$ es el conjunto de Cantor.
El defecto en la definición de Lebesgue-Borel es que la composición de funciones medibles no es medible… pero es sorprendentemente raro que esto sea un problema.
Una razón es que la condición de que las preimágenes de conjuntos medibles de Borel sean medibles de Lebesgue es una condición más débil que la condición de que las preimágenes de conjuntos medibles de Lebesgue sean medibles de Lebesgue. Uno puede encontrar funciones que son “medibles de Lebesgue-Borel” pero no “medibles de Lebesgue-Lebesgue” (ver el comentario de egorovik), pero no viceversa.
Esto también significa que es más fácil verificar si una función es “medible Lebesgue-Borel” que “medible Lebesgue-Lebesgue” (en este caso, solo es necesario verificar las preimágenes de conjuntos de la forma $(-infty,c)$ por $cinmatemáticas R$porque estos conjuntos generan los conjuntos medibles de Borel).
Generalmente, consideramos funciones medibles porque queremos hacer teoría de la medida (teoría de la integración, etc.). Resulta que esta teoría funciona tanto para las “funciones medibles de Lebesgue-Lebesgue” como para las “funciones medibles de Lebesgue-Borel”.
Así, si establecemos una teoría para las “funciones medibles de Lebesgue-Borel”, hemos establecido una teoría para una clase más grande de funciones. A los matemáticos les gusta que su teoría funcione para una clase más grande de objetos.