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Dado que todas las funciones constantes son medibles por Borel, la cardinalidad del conjunto de todas las funciones reales medibles por Borel en $Bbb R$ debe ser al menos $|Bbb R|=2^aleph_0$. En sentido contrario, una función de valor real $f$ está determinada por la secuencia de conjuntos $(f^-1(r,infty)mid rin Bbb Q)$. Si $f$ es Borel medible, entonces cada uno de estos conjuntos es Borel medible, por lo que solo hay $2^aleph_0$ opciones posibles para cada $f^-1(r,infty)$. Por lo tanto, dado que solo hay $aleph_0$ números racionales, la cardinalidad del conjunto de funciones reales medibles por Borel en $Bbb R$ es como máximo $(2^aleph_0)^aleph_0=2 ^aleph_0$.
Un método es mostrar que cada función medible de Borel se puede construir como una iteración de convergencia puntual a partir de funciones continuas, la construcción es análoga a la construcción del álgebra $sigma$ de Borel internamente a partir de conjuntos abiertos tomando intersecciones y complementos. repetidamente $aleph_1$ veces.
Entonces la prueba de cardinalidad también funciona aquí, hay $2^aleph_0$ funciones continuas; y por lo tanto solo $2^aleph_0$ secuencias de tales, por lo que en cada etapa agregamos como máximo $2^aleph_0$ nuevas funciones. Hay $aleph_1$ etapas en la construcción, por lo que en general tenemos al menos $2^aleph_0$ y como máximo $2^aleph_0cdotaleph_1=2^aleph_0$ funciones medibles de Borel.
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