Solución:
Lo siguiente es un poco divagante, pero espero que le resulte una recopilación de información útil.
La integral de Riemann solo se define para funciones limitadas en intervalos limitados, que son todas integrables de Lebesgue. Es la extensión del incorrecto Integral de Riemann que puede integrar funciones que no son integrables en Lebesgue.
Recordamos que una función $ f $ es impropiamente integrable de Riemann en $ (a, b) $ si $ int_c ^ df $ existe para todos $ c, d $ con $ a
Una forma fácil de entender la diferencia es que si $ f $ es integrable en Lebesgue, $ lvert f rvert $ también debe ser integrable en Lebesgue (básicamente porque así es como definimos la integral de Lebesgue para funciones no positivas). $ sin {x} / x $ no satisface esto, por lo que no puede ser integrable en Lebesgue.
Otra forma de entender la integral de Lebesgue es a través de la construcción de Daniell: tomamos un espacio vectorial de funciones básicas $ mathcal {F} $ (de modo que además $ f in mathcal {F} $ si y solo si $ | f | in mathcal {F} $) y un mapa $ I: mathcal {F} to mathbb {R} $ que satisface linealidad, positividad ($ f geq 0 implica I (f) geq 0 $ ) y continuidad (si $ f_n $ es una secuencia no creciente que converge puntualmente a $ 0 $, entonces $ I (f_n) a 0 $). Entonces se puede definir una integral en funciones representable como un límite monótono de las funciones en $ mathcal {F} $, con algunas sutilezas para tratar con funciones negativas. La ventaja aquí es que se puede elegir la integral básica $ I $ como la integral de Riemann y las funciones elementales como funciones continuas en un intervalo finito, o funciones continuas con soporte compacto, y luego se puede probar que esta construcción da la integral de Lebesgue.
La utilidad de la integral de Lebesgue no radica realmente en extender la integral de Riemann unilateralmente. Para esto la integral Gauge / Henstock-Kurzweil es una idea mucho mejor, y de hecho, funciones como la función característica de los racionales no son comunes en las aplicaciones de integración para las que se favorece la teoría de Lebesgue (que es la mayoría de ellas). En cambio, hemos descubierto que tiene otras ventajas:
- Los espacios de las funciones integrables de Lebesgue tienden a ser mejores que los espacios de las funciones integrables de Riemann, la principal ventaja es que los límites de las funciones integrables de Lebesgue son normalmente también integrables de Lebesgue (los límites puntuales, por ejemplo, son, por uno u otro de la Convergencia Teoremas), mientras que este no es el caso de las funciones integrables de Riemann: se necesita una convergencia uniforme para que el límite sea integrable de Riemann. Esto significa que, por ejemplo, $ L ^ 1 $ es un espacio de Banach con la norma dada por la integral del valor absoluto, mientras que uno tendría que usar la norma uniforme para convertir un espacio de funciones integrables de Riemann en un espacio de Banach, lo que conlleva una falta de flexibilidad: la convergencia uniforme es difícil de demostrar y, en general, es demasiado pedir.
- La otra ventaja principal es que la integral de Lebesgue se puede definir en espacios mucho más generales que la integral de Riemann (la integral de Riemann requiere una estructura de orden de algún tipo en el conjunto subyacente, por lo que está esencialmente limitada a $ mathbb {R} ^ n $), lo que lo hace útil en un contexto mucho más general.
Las anteriores son las razones modernas para usar la integral de Lebesgue: esta difícilmente puede haber sido la motivación de Lebesgue, que probablemente estaba más enraizada en la extensión que sugiere. También es muy difícil exhibir una función integrable de Lebesgue no localmente en un intervalo finito: uno necesita mucho del axioma de elección.
Básicamente, hemos encontrado que hay dos tipos comunes de integrales que se pueden definir en los números reales: integrales “absolutas”, que tienden a ser la integral de Lebesgue si son lo suficientemente generales (en esta categoría tenemos a Daniell, Mikusiński y McShane, por ejemplo). El otro tipo son los no absolutos más generales, como la integral de calibre.
A mi modo de ver, la integral de Lebesgue es de hecho una “mejora” de la integral de Riemann, y la función que das es de hecho un ejemplo de eso. En otras palabras, el hecho de que esta función tenga una integral de Riemann en $ mathbb {R} $ simplemente muestra que la integración de Riemann tiene algunos defectos. Esto está directamente relacionado con el siguiente hecho:
Dejar $ sum a_n $ ser una serie condicionalmente convergente. Entonces, para cualquier número real $ alpha $, hay una reordenación de $ sum a_n $ que converge a $ alpha $.
En su ejemplo, puede tomar la función en cada intervalo PS[npi,(n+1)pi]PS y reordenar los intervalos. El hecho anterior implica que cualquier número real podría obtenerse como una integral de Riemann “reordenada” de la función de esta manera. La integral de Lebesgue, por otro lado, ignora cualquier cosa como el orden. De hecho, es aditivo para cualquier secuencia de conjuntos medibles. Por lo tanto, si su función fuera integrable de Lebesgue, su integral de Lebesgue tendría que ser igual a cualquier número real.
Para $ r> 0 $, su función tiene una integral de Riemann y una integral de Lebesgue sobre $[0,r]$, y tienen el mismo valor en términos de $ r $. Ahora sea $ r to infty $. Este valor común dependiente de $ r $ tiende a un límite, que tradicionalmente se llama integral de Riemann incorrecta sobre $[0infty)$Bienpodríallamarseel[0infty)$Itmightjustaswellbecalledtheintegral de Lebesgue incorrecta sobre $[0infty)$peropor(buenas)razoneshistóricasnoloesComohancomentadootrostalterminologíaesengañosa:elvaloresunlímitedeunaintegral(dependientedelparámetro)ynoensímismounaintegralDichoestoraravezhayproblemasentratartaleslímitescomointegrales;porloquelaterminologíanosueledarlugaraconfusiónenlapráctica[0infty)$butfor(good)historicalreasonsitisnotAsothershavecommentedsuchterminologyismisleading:thevalueisalimitofa(parameter-dependent)integralandnotitselfanintegralThatsaidthereisseldomanyproblemintreatingsuchlimitsasintegrals;sotheterminologyusuallydoesn’tgiverisetoconfusioninpractice