Encontramos el arreglo a este dilema, o por lo menos eso creemos. Si tienes interrogantes coméntalo y sin tardanza
Solución:
Notemos $$A = x in mathbbQ : x > sqrt2.$$ Entonces la función característica $chi_A : mathbbQ to mathbbQ $ es continuo pero no conserva las secuencias de Cauchy.
La respuesta anterior ya proporciona un buen contraejemplo. Abordaré tus otras preguntas.
Tienes razón en que el contraejemplo debe ser una función que no sea la restricción a $mathbbQ$ de una función continua de $mathbbR$ a $mathbbR$. En particular, no existe una secuencia de Cauchy de números racionales $(x_n)$ tal que $(x_n^2)$ no sea Cauchy.
Sea $(x_n)$ una secuencia de Cauchy de números racionales y sea $f:mathbbRtomathbbR$ una función continua tal que $f(mathbbQ)subsetmathbb Q$. Como $(x_n)$ es Cauchy y $mathbbR$ es completo, $(x_n)$ converge (en $mathbbR$, no necesariamente a un número racional). Entonces por la continuidad de $f$, la sucesión $(f(x_n))$ converge. Pero las sucesiones convergentes son Cauchy, entonces $(f(x_n))$ es Cauchy. Restringir la función $f$ a $mathbbQ$ y aplicarla a $(x_n)$ aún produce una secuencia de Cauchy.
Otro ejemplo simple es $f(x)=frac1x^2-2$.