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Solución:
En general, esto se remonta al concepto subyacente de convergencia de una secuencia y los llamados Hausdorff’sche Umgebungsaxiome (ver: Félix Hausdorff. Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig, 1914).
Intuitivamente el convergencia de una secuencia a un punto significa que en cada
vecindario del punto se puede encontrar casi todos partes de la secuencia.
La versión matemática de ese concepto es nombrar para cada punto $x$ de un conjunto $X$ ciertos subconjuntos como barrios de este punto satisfaciendo los siguientes supuestos Hausdorff’sche Umgebungsaxiome (barrio = germen. “Umgebung”):
- $x$ pertenece a cada uno de sus barrios.
- Cualquier superconjunto de un vecindario de $x$ es nuevamente un vecindario de $x$ (especialmente $X$ es un vecindario de $x$).
- La intersección de dos vecindarios de $x$ es nuevamente un vecindario de $x$.
- Cada vecindad $U$ de $x$ contiene una vecindad $V$ de $x$ tal que $U$ es una vecindad de cada punto de $V$.
Sobre esta base, se define un subconjunto de $X$ para ser abierto si es una vecindad de cada uno de sus puntos (fi un disco circular en $R^2$ sin su arista).
Los abiertos son exactamente esos subconjuntos que contienen solo puntos “internos” (y ni “puntos externos” ni “puntos de borde”) en el sentido de que en cualquier punto del conjunto abierto se puede especificar una vecindad, que está completamente contenida en el conjunto. conjunto abierto.
De esto se pueden derivar los siguientes teoremas:
- El conjunto vacío y el propio espacio están abiertos.
- La intersección de dos conjuntos abiertos es abierta.
- La unión de cualquier número de conjuntos abiertos es abierta.
- Un subconjunto $U$ es exactamente entonces una vecindad de $x$ si existe un conjunto abierto $O$ con $x in O subconjunto U$.
Si en lugar de los axiomas de Hausdorff se toman los teoremas 1 a 3 como axiomas y el teorema 4 como una definición de vecindad, entonces se obtiene la definición habitual de un topología:
Sea $X$ un conjunto. Un sistema $T$ de subconjuntos de $X$ se llama topología en $X$, si:
- $∅ en T, X en T$,
- $O_1, O_2 in T ⇒ O1 cap O2 in T$,
- $S subset T ⇒ (bigcup_S’∈S S’) ∈ T$.
Esto muestra que “las intersecciones finitas y las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos son abiertas” es una generalización de las propiedades de los “conjuntos abiertos” definidos en términos de “vecindarios” que se definieron para obtener un significado preciso de la idea de la convergencia de un secuencia.
¡Prueba con el ejemplo!
Considere los números reales y una secuencia de intervalos abiertos cada vez más pequeños alrededor de cero: (-1,1), (-1/2,1/2), (-1/3,1/3), …
Si tomamos cualquier unión de cualquiera de estos conjuntos, entonces cualquier punto de esa unión tendrá un pequeño vecindario a su alrededor (¿puedes ver por qué?).
Para las intersecciones, no es tan simple.
Si tomamos un número finito de conjuntos y tomamos su intersección, aún obtendremos un conjunto abierto (pista: ¿por qué la intersección de dos conjuntos abiertos sigue abierta?)
Pero si tomamos la intersección infinita, el único punto que está en todos los intervalos es 0.
Y 0 por sí solo no es un conjunto abierto, porque 0 no tiene un pequeño vecindario a su alrededor.
Si entiendes por qué es eso trueno debería tener problemas para verlo de manera más general.
Quizás esto sería más fácil si estuviera motivado desde el contexto del espacio métrico. Si $(X,d)$ es un espacio métrico, un subconjunto $U subconjunto X$ está abierto si para todo $x in X$, hay alguna bola $B(x,r)$ de algún radio $r > 0$, alrededor de $x$ tal que $B(x,r) subset U$. Supongamos ahora que tenemos una familia de conjuntos abiertos $U_i$ para $i in I$ algún conjunto de indexación. Se trata fundamentalmente de cuantificadores lógicos.
(Uniones) Si hacemos que $U$ sea la unión de las $U_i$, entonces si $x in U$, debemos tener $x in U_i$ para algún soltero $i$. Hay una bola $B(x,r) subset U_i$. Y por definición de unión $B(x,r) subset U$. Crucial es que en todas partes aquí solo necesitamos verificar “existe una $i$ tal que…“
(Intersección) Por otro lado $U$ es la intersección de $U_i$. Si $x in U$ entonces $x in U_i$ para todos $i$. Podemos encontrar una bola $B(x,r_i) subset U_i$ para cada $i$. Supongamos que esta bola se elige con el radio máximo posible. Si hubiera una bola $B(x,r) subset U$ alrededor de $x$ entonces $B(x,r) subset B(x,r_i)$ para cada $i$ por la suposición del radio máximo. Por lo tanto, $r < r_i$ y $r leq inf_i in I(r_i)$ funcionarían. Pero ahora tenemos un problema porque, a menos que el conjunto de índices $i$ sea finito, es muy posible que la familia de $r_i$ tenga $0$ porque es ínfimo. Esto se debe a que para verificar que $B(x,r)$ estaba contenido en $U$, necesitábamos verificar $B(x,r) subset U_i$ por todo lo que.
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